# Solutions Manual A section from the Chinese-language textbook Photographic Imaging Science: From Photons and CMOS to Lenses and RAW: 摄影成像科学答案手册. ## Metadata - HTML: https://glenzli.com/en/dr-stochastic-parrot/photographic-imaging-science/solutions/ - Markdown: https://glenzli.com/en/dr-stochastic-parrot/photographic-imaging-science/solutions.md - Collection: Dr. Stochastic Parrot - Language: en - Published: 2026-07-20 - Status: published - Tags: ai-generated, stochastic-parrot, photography, imaging-science, camera, optics ## Content 答案编号与第 1--17 章的练习一一对应。计算默认采用正文符号、线性响应和题目给定的 简化条件；实际器材测量还需按相应章节加入光谱、温度、读出模式和处理链。 ## 第一章 **答案 1.1.** 对半角 $\alpha$ 的均匀圆锥积分： $$ E=L\int_0^{2\pi}\int_0^\alpha \cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi =2\pi L\frac{\sin^2\alpha}{2} =\pi L\sin^2\alpha. $$ **答案 1.2.** 曝光量比例为 $$ \frac{H_{5.6}}{H_2}=\left(\frac2{5.6}\right)^2 \approx0.1276, $$ 即约为原来的 $1/7.84$。档数为 $$ 2\log_2(5.6/2)\approx2.97, $$ 即标称三档。 **答案 1.3.** 像素面积 $A=36\times10^{-12}\ \mathrm m^2$，接收能量 $$ AH=7.2\times10^{-16}\ \mathrm J. $$ 650 nm 光子能量 $$ \frac{hc}{\lambda}\approx3.056\times10^{-19}\ \mathrm J, $$ 所以平均光子数约 $2356$，平均电子数约 $0.60\times2356=1414\ e^-$。 ## 第二章 **答案 2.1.** Poisson 稀疏化后 $$ \mu_e=0.5\times10^4=5000\ e^-, \qquad \sigma_\mathrm{shot}=\sqrt{5000}\approx70.71\ e^-. $$ 仅受散粒噪声限制时 SNR 也为 $\sqrt{5000}\approx70.71$。 **答案 2.2.** 由 $K=q/C_\mathrm{FD}$，电容降为原来的 $1/4$，转换增益增为 4 倍。若允许电压摆幅 $\Delta V$ 不变，可容纳电子数 $N_\max=C_\mathrm{FD}\Delta V/q$，因此降为原来的 $1/4$。 **答案 2.3.** 设两噪声为 $X,Y$。相关系数 $\rho=\operatorname{Cov}(X,Y)/\sigma^2$，故 $$ \operatorname{Var}(X-Y) =\sigma^2+\sigma^2-2\operatorname{Cov}(X,Y) =2\sigma^2(1-\rho). $$ 完全相关的共同噪声 $\rho=1$ 被差分消去；独立噪声 $\rho=0$ 的方差相加。 **答案 2.4.** 由式 (2.3)， $$ \mathcal R =0.70\frac{(1.602176634\times10^{-19})(550\times10^{-9})} {(6.62607015\times10^{-34})(2.99792458\times10^8)} \approx0.3105\ \mathrm{A/W}. $$ 吸收比例满足 $1-e^{-\alpha d}=0.90$，故 $$ d=\frac{-\ln0.10}{\alpha}=\frac{\ln10}{\alpha}. $$ 外量子效率还包含反射与载流子收集损失，不能反过来把 $0.70$ 直接当作硅吸收比例。 ## 第三章 **答案 3.1.** 对 12 bit ADC， $$ \Delta=\frac{1.2}{4096}\ \mathrm V \approx2.930\times10^{-4}\ \mathrm V =293.0\ \mu\mathrm V. $$ 均匀量化噪声 rms 为 $\Delta/\sqrt{12}\approx84.6\ \mu\mathrm V$。 **答案 3.2.** 可用数字跨度 $$ 15360-512=14848\ \mathrm{DN}, $$ 对应 $$ 14848/0.4=37120\ e^-. $$ 满阱只有 $30000\ e^-$，因此在该简化模型中光电二极管线性满阱先限制。 **答案 3.3.** 输入等效读噪 $$ \sigma_r(a)=\sqrt{2^2+(8/a)^2}\ e^-. $$ 依次得到 $$ \begin{array}{c|cccc} a&1&2&4&8\\\hline \sigma_r[e^-]&8.246&4.472&2.828&2.236 \end{array} $$ 极限为 $2\ e^-$，所以后续增益收益逐渐变小。 **答案 3.4.** 取 $k_{\mathrm B}=1.380649\times10^{-23}$ J/K、 $q=1.602176634\times10^{-19}$ C： $$ \sigma_V=\sqrt{\frac{k_{\mathrm B}T}{C}} =\sqrt{\frac{1.380649\times10^{-23}\times300}{10^{-14}}} \approx6.436\times10^{-4}\ \mathrm V. $$ 即约 $0.644$ mV。电子域为 $$ \sigma_N=\frac{\sqrt{k_{\mathrm B}TC}}q \approx40.17\ e^-. $$ 这是复位瞬间电容节点的热噪声。CDS 可消去同一次复位在前后样本中的共同分量，最终 读噪还含源跟随器、列电路、采样与 ADC 噪声，所以不能直接把 $40.17\ e^-$ 当成 CDS 后读噪。 ## 第四章 **答案 4.1.** 总方差 $100+4+3^2=113\ e^{-2}$，故 $$ \mathrm{SNR}=\frac{100}{\sqrt{113}}\approx9.407, $$ $$ 20\log_{10}(9.407)\approx19.47\ \mathrm{dB}. $$ **答案 4.2.** 与 $s_Y^2=g\bar Y+\sigma_{R_Y}^2$ 比较，得到 $g=0.5\ \mathrm{DN}/e^-$、$\sigma_{R_Y}=3$ DN。输入等效读噪为 $$ \sigma_r=3/0.5=6\ e^-. $$ **答案 4.3.** 对要求 SNR 为 $k$ 的下端 $\mu_k$， $$ \frac\mu{\sqrt{\mu+\sigma_r^2}}=k \quad\Rightarrow\quad \mu_k=\frac{k^2+\sqrt{k^4+4k^2\sigma_r^2}}2. $$ 取 $\sigma_r=1.6$：$k=1$ 时 $\mu_1\approx2.176\ e^-$，动态范围 $$ \log_2(32000/2.176)\approx13.844\ \text{档}. $$ $k=2$ 时 $\mu_2\approx5.774\ e^-$，动态范围约 $12.436$ 档。 **答案 4.4.** 与 $v=gm+\sigma_{R_Y}^2$ 比较， $g=0.20\ \mathrm{DN}/e^-$，数字域读噪 rms 为 $\sqrt4=2$ DN，故 $$ \sigma_{r,e}=\frac2{0.20}=10\ e^-. $$ 若 12,000 DN 已扣除黑电平且该点由像素线性容量限制，则 $$ Q_\mathrm{FW}\approx\frac{12000}{0.20}=60\,000\ e^-. $$ 若数字白点先剪切或相机在该处改变量程，这个换算不能称为光电二极管满阱。 ## 第五章 **答案 5.1.** 使用 $$ \mathrm{SNR}(a)=\frac{25}{\sqrt{25+2^2+8^2/a^2}} $$ 得到 $$ \begin{array}{c|cccc} a&1&2&4&8\\\hline \mathrm{SNR}&2.592&3.727&4.352&4.564 \end{array} $$ 极限为 $25/\sqrt{29}=4.642$。$a=8$ 已很接近极限。 **答案 5.2.** ISO 从 400 到 1600 是两档，按测光减少两档曝光使电子数变为 $1/4$。散粒噪声主导时 $\mathrm{SNR}=\sqrt\mu$，所以 SNR 变为 $\sqrt{1/4}=1/2$。 **答案 5.3.** 两个基础 ISO 可能对应两个转换增益、模拟增益或曝光标定工作点。 HCG 往往降低输入等效读噪，却可能因 FD 电容较小而具有较低电压域容量；相机也可能 在两模式使用不同 ADC 映射。没有各模式的满阱、白点和中灰位置，就不能推出相同 高光余量。 ## 第六章 **答案 6.1.** 若行号为 $0,\ldots,2999$，首末行开始时间差 $$ 2999\times10\ \mu\mathrm s=29.99\ \mathrm{ms}. $$ 位置差为 $$ 5000\ \mathrm{pixel/s}\times0.02999\ \mathrm s =149.95\ \mathrm{pixel}. $$ 若规格把帧扫描时间定义为 3000 个完整行周期，会报 30.00 ms；两者只差一个行周期。 **答案 6.2.** 电子滚动快门以电子方式依次启动/结束各行，故“电子”不保证同时性。 机械焦平面快门在高速时由前后帘形成狭缝扫过焦面，不同位置也在不同时刻曝光。两者 都可产生运动倾斜，具体扫描方向和时间由实现决定。 **答案 6.3.** BSI 直接规定从减薄硅背面入光，不能单独推出读出速度；堆栈直接规定 像素层与逻辑层分开制造并互连，不能单独推出读噪；全局快门直接规定全像面曝光窗口 同时，不能单独推出动态范围或量子效率。 ## 第七章 **答案 7.1.** $p=3.76\ \mu$m $=0.00376$ mm， $$ \nu_N=\frac1{2p}=\frac1{0.00752}\approx132.98\ \mathrm{lp/mm}. $$ **答案 7.2.** 以绿色为一，增益为 $$ (w_R,w_G,w_B)=(1600/800,1,1600/640)=(2,1,2.5). $$ 乘法同样乘噪声 rms，故白平衡后噪声为 $$ (40,30,45)\ \mathrm{DN}. $$ **答案 7.3.** 采样频率 $f_s=100$ cycles/mm。频率 70 与 $|70-100|=30$ cycles/mm 产生同一实正弦采样序列（相位/符号按正余弦约定变化）， 因此折回到 30 cycles/mm。 ## 第八章 **答案 8.1.** 八帧平均后标准差为单帧的 $1/\sqrt8\approx0.3536$，SNR 为单帧的 $\sqrt8\approx2.828$。以 SNR 倍率计，相当于 $\log_2\sqrt8=1.5$ 档。 **答案 8.2.** 一次长曝光方差 $$ 160+4^2=176, $$ 噪声 $13.266\ e^-$、SNR $160/13.266=12.060$。分十六帧求和，方差 $$ 160+16\times4^2=416, $$ 噪声 $20.396\ e^-$、SNR $7.845$。固定总曝光下，多次支付读噪使结果更差。 **答案 8.3.** DCG 只把已经转移的同一电荷用不同 V/e$^-$ 读取。若光电二极管在 曝光中已满阱并丢失额外电子，两条增益链都没有这些电子。LOFIC 在主节点接近饱和时 把额外电子导入更大积分电容，因此改变了可保存的电荷上端，理想情况下能记录原本会 溢出的高光。 ## 第九章 **答案 9.1.** 若 $x_2=2^nx_1$，则 $$ v(x_2)-v(x_1) =a[\log_2(2^nx_1)-\log_2x_1] =an. $$ **答案 9.2.** 总范围 14 档，中灰上方 8 档时，下方剩 $14-8=6$ 档。实际少曝光两档使电子数为原来的 $1/4$，散粒噪声区 SNR 为原来的 $1/2$。 **答案 9.3.** Log 重新分配明暗码字，使每档曝光获得较均匀精度；广色域规定 RGB 基色/坐标能表示的颜色范围；10 bit 规定每通道离散码字数量。三者分别对应传递函数、 颜色坐标和量化精度，不能互相替代。 **答案 9.4.** 由式 (9.4)， $$ m=\frac{0.18}{(0.01+0.01)\ln2} \approx12.9843, $$ $$ c=0.18\log_2(0.02)+1.20-12.9843\times0.01 \approx0.05426. $$ 线性支在连接点给 $mx_t+c\approx0.18411$；对数支给 $0.18\log_2(0.02)+1.20\approx0.18411$，二者相同，且斜率也由 $m$ 的选取相同。 ## 第十章 **答案 10.1.** 有效跨度 $15000-1024=13976$，有效信号 $4500-1024=3476$，所以 $$ x=3476/13976\approx0.2487. $$ **答案 10.2.** 码率 $$ 3840\times2160\times12\times60 =5.971968\times10^9\ \mathrm{bit/s}, $$ 即约 $5.972$ Gbit/s 或 $5.971968\times10^9/8/10^6=746.496$ MB/s。 **答案 10.3.** 白平衡建议通常可后改，因为马赛克各通道尚未不可逆混合，后期可重选 通道增益。模拟转换增益/曝光时间在拍摄时已经固定：它们决定了实际收集电子、读出 噪声和饱和，文件元数据不能事后重做曝光。具体 RAW 若已烘焙白平衡或 HDR，还需按其 数据契约判断。 **答案 10.4.** 低字节与中间字节低 nibble 给 $$ A=\mathtt{0x45}+2^8\mathtt{0x7} =\mathtt{0x745}. $$ 中间字节高 nibble 是 $B$ 的低四位，第三字节是其高八位，所以 $$ B=\mathtt{0xa}+2^4\mathtt{0x3c} =\mathtt{0x3ca}. $$ ## 第十一章 **答案 11.1.** 由制镜者公式 $$ \Phi=(1.5-1)\left(\frac1{100}-\frac1{-100}\right) =0.01\ \mathrm{mm}^{-1}, $$ 所以 $f=100$ mm。 **答案 11.2.** $$ s'=\frac{fs}{s-f} =\frac{85\times1000}{915} \approx92.896\ \mathrm{mm}. $$ 相对无穷远伸长 $92.896-85=7.896$ mm，横向放大率 $m=-s'/s\approx-0.09290$。 **答案 11.3.** $$ \begin{pmatrix}1&d_2/n\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&d_1/n\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&(d_1+d_2)/n\\0&1\end{pmatrix} =T(d_1+d_2). $$ **答案 11.4.** 行列式为 $$ AD-BC=0.9\times1.0-20(-0.005)=1. $$ 因此矩阵满足首尾同介质的近轴系统条件。由式 (11.6)， $$ f=-1/C=200\ \mathrm{mm},\qquad \ell_1=f(1-D)=0,\qquad \ell_2=f(1-A)=20\ \mathrm{mm}. $$ 平行入射光从输出参考面量起的后焦距为 $$ \mathrm{BFD}=-A/C=180\ \mathrm{mm}. $$ 也可写成 $\mathrm{BFD}=f-\ell_2$；像方主平面位于输出参考面之前 20 mm。 ## 第十二章 **答案 12.1.** 用 $d=2.44\lambda N$、$\nu_c=1/(\lambda N)$，取 $\lambda=0.00055$ mm： $$ \begin{array}{c|ccc} N&4&8&16\\\hline d_\mathrm{Airy}[\mu\mathrm m]&5.368&10.736&21.472\\ \nu_c[\mathrm{lp/mm}]&454.55&227.27&113.64 \end{array} $$ **答案 12.2.** $p=0.004$ mm， $$ \nu_N=\frac1{2p}=125\ \mathrm{lp/mm}. $$ 矩形满填充像素在 Nyquist 处 $$ \left|\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}\right| =\frac2\pi\approx0.6366. $$ **答案 12.3.** 乘积为 $$ 0.60\times0.85\times0.64=0.3264. $$ 锐化是带频率增益、可能非线性的处理，可造成过冲和 MTF 大于光学乘积；内容自适应 降噪/去马赛克也不是固定空间不变卷积，所以不能由三个预采样 MTF 直接预测。 **答案 12.4.** 式 (12.4) 中两矩形瞳的相对位移为 $\delta=\lambda f\nu$。当 $|\delta|