Proofs and Technical Appendices

本目录只收录卷一正文若就地展开会打断主线、但研究生读者应能核验的定义与推导。它不是第二套平行教材，也不承担卷二的执行追踪、卷三的概率解释或卷四的可解释性研究。

进入学习与模型数学讲义

使用方式

读者不需要按 A.1—A.12 线性通读。遇到正文链接时进入相应条目即可：

路径	建议顺序	服务的正文问题
学习与泛化	A.1 -> A.3 -> A.4 -> A.8	梯度更新何时成立，容量界、正则化和 AdamW 的边界是什么
早期神经网络	A.2 -> A.5 -> A.7	感知机为何收敛，多层网络能表示什么，分类输出怎样训练
反向传播与算子	A.6 -> A.9；A.6 + A.7 -> A.10	batch 形状、卷积伴随与 attention 反向怎样核对
后训练	A.7 -> A.11	token log probability、策略梯度、PPO 和 DPO 怎样连接
多模态表征	A.7 -> A.12	对比损失、表示梯度和互信息下界何时成立

先修范围

核心推导默认读者掌握线性代数、多元微积分和初等概率。A.3、A.11 与 A.12 还使用条件期望、KL 散度和独立采样；可先读卷三的最小概率工具箱。A.5 的一般通用逼近证明使用 Hahn—Banach 与 Riesz—Markov 定理；不具备泛函分析先修时，可以接受所列引理并完整阅读一维 ReLU 构造。

编号与边界

A.1—A.12 是本目录内部编号。卷三概率工具箱也使用局部小节编号 A.1 等，引用时应同时写明文件或主题，不能把两套编号拼成一个全书连续定理序列。

每篇附录末尾给出其直接依赖的原始来源。正文中的历史、模型谱系与更新较快的工程事实仍以各卷来源表为准；附录来源只支撑所陈述的数学结果和算法定义。