FULL

MG-C003 · 第 1 轮自查后的完整交付

上一轮并未 100% 覆盖原始清单：它明确保留了 19 个 incomplete 项。本轮补齐这些项目，重新提交完整源码及完整对齐表；没有修改原始规格、冻结背景或上一轮锁定的 answer.md。

本轮新增并核查：

• 七点双分量反例的合法结构、实际像域及非封闭性。
• 吸收实线上的阶跃算子，精确合法半径区间、点态半径、固定域上的零统一半径，以及任意有限正输入尺度的两点覆盖反例。
• 实线二点/单点直径反例。
• 绝对值读数伪度量下的仿射算子、自复合纤维和分量类型。
• 平移例的完整去重纤维分划，以及精确 3/2 半径下的两端内部覆盖数和熵差。
• floor 算子在四个指定域上的直径、统一半径、阈值类型及反例。
• 四点重排例在全部正精度下的覆盖数分段和端点、内部中心限制、两算子的像集与熵差、最优 Lip 常数及 7/4 精度比较。
• 从完整 co-Lip 矩阵行到单条目标量下界的显式桥接。

alignment.json 恰好包含原清单的 92 个不同 ID，本轮均标为 complete，并逐项提供实际声明和表示说明。所有目标和数学辅助证明均在 Main.lean 中；Audit.lean 仅负责导入及审计，没有另藏的目标模块。

验证环境为 Lean 4.29.1，编译器提交 f72c35b3f637c8c6571d353742168ab66cc22c00，使用题目固定的 Mathlib 及冻结背景。Main.lean 已重新编译成功；Audit.lean 对 271 个目标、辅助及被映射的背景声明进行了声明存在性与传递公理检查，结果仅出现 propext、Classical.choice、Quot.sound。源码不含 sorry、admit、新公理或跳过内核检查的设施。少量弃用/未使用参数提示不影响编译。

表示说明：一般性命题对任意函数和相应伪度量公理证明，因此适用于原文保持吸收元的算子及其合法受限域。具体反例和习题则在 Option ℝ 或明确有限类型上构造合法 Operator 和 ExtendedPseudoMetric。所有有理数端点使用精确运算；扩展无穷值未替换为有限截断。Bool 的 true/false 分别代表阈值分类的 1/0。熵差定义要求原文的有限性析取证明。

本轮逐项核查未发现仍未完成的项目。内核检查保证所交声明及证明成立；源码到原文的语义对应仍应结合 alignment.json 阅读，不将编译成功等同于独立人工逐字语义审阅。

归属：数学内容来自 Zhe Li（Glen Li / glenzli），ORCID https://orcid.org/0009-0006-6536-3453，《The Operator Evolution Theory》，https://glenzli.com/books/oet/ ，题目所给版本 DOI https://doi.org/10.5281/zenodo.21457931，依 CC BY 4.0（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）使用。本交付是对该来源的新 Lean 形式化，不主张原理论的原创性。冻结 formal_oet 源码和题目提供的 lean-local 沿用附件，不修改、不重复提交。

下面提交全部四个文件的全文。编译入口为 build.sh 或 Main.lean，公理审计入口为 Audit.lean。

#!/bin/sh
set -eu
cd "$(dirname "$0")"
./lean-local -o formal_oet/vol_01/ch_01_foundations/gauge_space.olean formal_oet/vol_01/ch_01_foundations/gauge_space.lean
./lean-local -o formal_oet/vol_01/ch_01_foundations/metric_entropy.olean formal_oet/vol_01/ch_01_foundations/metric_entropy.lean
./lean-local -o formal_oet/vol_01/ch_01_foundations/operator_space.olean formal_oet/vol_01/ch_01_foundations/operator_space.lean
./lean-local -o Main.olean Main.lean
./lean-local Audit.lean

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原答文件 ↗

KEEP

本轮保留紧邻上一版的答卷主体及全部交付文件。Main.lean、Audit.lean、build.sh、alignment.json 均原字节继承；本轮未修改源码、对齐表、原始规格、冻结背景或此前锁定的输出答卷。

核查依据：

1. 对照原始 obligations.json，确认对齐表恰好覆盖全部 92 个不同 ID，没有遗漏、重复或清单外依赖；每项均有非空表示说明和实际声明列表。未发现需要撤回上一轮 complete 判断的项目。
2. 重新执行完整 build.sh，冻结前置模块、Main.lean 和 Audit.lean 全部成功，零编译错误。对 271 个声明的传递公理审计仅出现 propext、Classical.choice、Quot.sound。源码不含占位证明、新公理或跳过内核检查的设施。
3. 六个冻结 Lean 源文件与原始任务中给出的对应内容逐字节一致。四个交付文件在本轮核查前后的 SHA-256 均一致。
4. 复核了易失配的数学边界：常值优先的分量分划、实际中间像域、点值关系与零距商的区别、有限正合法半径及无穷值、内部覆盖中心、空集和无有限覆盖情形、熵差的有限性条件，以及上一轮补齐的所有反例和习题分支。具体检查包括阶跃算子的固定评估域、四个 floor 输入域、3/2 与 7/4 精度，以及四点覆盖数在 1、2 两个端点处的严格开球行为。

本轮未发现新的遗漏或语义偏离，因此不修改任何声明、证明、结论或对齐状态。仍保留上一轮说明的不确定性：内核检查证明的是所提交形式声明；源码与自然语言原文的语义对应并非由编译器自动判定，独立人工逐字复核仍可能发现本轮未识别的偏差。这不是新增未完成项，也不改变继承答卷中的结论。

原答文件 ↗

KEEP

本轮不修改紧邻上一版的答卷主体、源码或对齐表。Main.lean、Audit.lean、build.sh、alignment.json 全部按原字节继承；此前锁定的输出答案、原始规格和冻结背景均未改动。

本轮核查依据：

• 重新执行完整 build.sh，所用前置模块、Main.lean 及 Audit.lean 均编译成功，没有错误。
• 审计覆盖 271 个实际声明，包含对齐表引用的全部声明；传递依赖中的公理仍仅为 propext、Classical.choice、Quot.sound。
• 对齐表与原始义务清单仍精确对应：92 个不同 ID，无遗漏、重复或清单外依赖。每项均有声明及非空表示说明，维持上一轮 complete 状态。
• 四个交付文件的 SHA-256 与上一轮记录一致；六个冻结 Lean 源文件与原始任务内容逐字节一致。源码没有占位证明、新公理或跳过内核检查的设施。
• 再次核对了实际像域及内部中心条件、点值与零距商的区分、空集和无穷边界、有限正半径及严格开球端点、熵差的良定性，以及全部具体反例和章末习题中的参数、分支与数值。未发现需要修复或降低完成状态的新问题。

因此本轮保持交付，不新增或更改任何数学结论。仍保留原有不确定性：内核验证所提交的形式声明，并不自动证明它们与自然语言原文的语义对应绝对无误；独立人工语义复核仍有价值。本轮没有识别出新的未完成项或对齐缺陷。

原答文件 ↗