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附录 A.6 反向传播：微分、形状与批量公式

发布于: 2026-07-17作者: GPT 5.5、GPT 5.6 Solpublished

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反向传播是标量损失对计算图执行反向模式自动微分。卷一第二章解释其历史与作用；本附录只固定导数约定，并推导 affine 层和逐元素激活的 batch 公式。卷积与 attention 的专用伴随算子分别见 A.9 和 A.10。

A.6.1 导数约定与反向模式

标量损失记作 $L$ 。对向量 $x\in\mathbb R^n$ ，梯度 $\nabla_xL\in\mathbb R^n$ 是列向量，并满足

dL=(\nabla_xL)^\mathsf Tdx. \tag{A.6.1}

若 $z=f(x)$ ，Jacobian 采用

J_f(x)=\frac{\partial z}{\partial x} \in\mathbb R^{\dim z\times\dim x},

则链式法则为

\nabla_xL=J_f(x)^\mathsf T\nabla_zL. \tag{A.6.2}

反向传播计算的是 Jacobian 转置与上游梯度的乘积，而不是显式物化完整 Jacobian。若一个节点向多个后继分叉，损失微分中会出现各路径贡献之和，所以回到该节点的梯度必须相加。

取

x\in\mathbb R^{d_{\mathrm{in}}}, \quad W\in\mathbb R^{d_{\mathrm{out}}\times d_{\mathrm{in}}}, \quad b,z\in\mathbb R^{d_{\mathrm{out}}},

并令

z=Wx+b.

已知上游梯度 $\delta=\nabla_zL\in\mathbb R^{d_{\mathrm{out}}}$ 。微分为

dz=(dW)x+W(dx)+db.

代入 $dL=\delta^\mathsf Tdz$ ：

dL =\delta^\mathsf T(dW)x +\delta^\mathsf TW(dx) +\delta^\mathsf Tdb.

利用迹恒等式 $\delta^\mathsf T(dW)x=\operatorname{tr}((\delta x^\mathsf T)^\mathsf TdW)$ ，逐项读取梯度：

\boxed{ \nabla_WL=\delta x^\mathsf T, \qquad \nabla_bL=\delta, \qquad \nabla_xL=W^\mathsf T\delta.} \tag{A.6.3}

形状分别为 $d_{\mathrm{out}}\times d_{\mathrm{in}}$ 、 $d_{\mathrm{out}}$ 和 $d_{\mathrm{in}}$ 。任何与这些形状不一致的转置都不能由 broadcasting 自动修正。

为与卷一 Transformer 章一致，把 batch 或 token 位置放在行上。令

X\in\mathbb R^{B\times d_{\mathrm{in}}}, \qquad Z=XW^\mathsf T+\mathbf 1_Bb^\mathsf T \in\mathbb R^{B\times d_{\mathrm{out}}}. \tag{A.6.4}

令 $G_Z=\partial L/\partial Z$ 与 $Z$ 同形。对 Frobenius 内积 $\langle A,B\rangle_F=\operatorname{tr}(A^\mathsf TB)$ ，有

dL=\langle G_Z,dZ\rangle_F.

展开 $dZ=(dX)W^\mathsf T+X(dW)^\mathsf T+\mathbf 1_B(db)^\mathsf T$ ，得到

\boxed{ G_X=G_ZW, \qquad G_W=G_Z^\mathsf TX, \qquad G_b=G_Z^\mathsf T\mathbf 1_B.} \tag{A.6.5}

形状核对如下。

$G_b$ 对 batch 行求和，因为同一个偏置被所有行共享。若 $L$ 是 batch 均值， $1/B$ 已包含在 $G_Z$ 中；反传公式本身不应再擅自除一次 $B$ 。

设

A^{(0)}=X,

Z^{(\ell)} =A^{(\ell-1)}(W^{(\ell)})^\mathsf T +\mathbf 1_B(b^{(\ell)})^\mathsf T, \qquad A^{(\ell)}=\sigma_\ell(Z^{(\ell)}), \tag{A.6.6}

其中激活逐元素作用。给定 $G_{A^{(\ell)}}$ ，激活的反传是

G_{Z^{(\ell)}} =G_{A^{(\ell)}}\odot \sigma_\ell'(Z^{(\ell)}). \tag{A.6.7}

再由 (A.6.5)，

G_{W^{(\ell)}} =(G_{Z^{(\ell)}})^\mathsf TA^{(\ell-1)},

G_{b^{(\ell)}} =(G_{Z^{(\ell)}})^\mathsf T\mathbf 1_B,

G_{A^{(\ell-1)}} =G_{Z^{(\ell)}}W^{(\ell)}. \tag{A.6.8}

若第 $\ell-1$ 层还通过残差支路直接影响后续节点，则 (A.6.8) 只是其中一条路径的贡献，必须与残差支路的梯度相加。

对 ReLU， $\sigma'(z)=1$ 当 $z>0$ ，为 $0$ 当 $z<0$ ； $z=0$ 不可微，其凸次微分为区间 $[0,1]$ 。软件必须在该点选择反传约定，常见选择是 $0$ ；选取区间内的值给出一个次梯度，但不把 ReLU 变成处处可微函数。

图中标量节点只是在局部写出向量—Jacobian 乘积；同一变量经多条支路影响损失时，各支路贡献仍须相加。

反向公式依赖前向量 $X,Z$ 或 $A$ 。训练系统可以保存它们，也可以用 gradient checkpointing 在反向时重算；这改变内存与计算量，不改变理想实数算术下的链式法则。

以下操作会改变计算图本身：

有限差分

\frac{L(\theta+he_j)-L(\theta-he_j)}{2h}

可用于小模型梯度核对，但 $h$ 过大有截断误差，过小有浮点消减误差；ReLU 折点附近也不能期待普通中心差分稳定匹配某个软件次梯度约定。

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