附录 B 有限维实坐标模型

在有限维实空间中，坐标差给出分量距离，选定范数则给出整体距离。配上吸收元后，这构成 附录 A 所讨论的分离规范空间的一类具体模型。本附录借助矩阵、范数与导数，为正文中的距离界、覆盖数和零化半径建立具体的计算方法。

以下先从坐标规范与范数距离的联系出发，讨论集合的覆盖估计，再考察如何在适当条件下用导数构造距离上界，以及获得下界还需要什么条件。随后转向零化半径的坐标解释，最后比较复合中的真实导数与非负上界。

B.1 坐标规范、范数与覆盖

设 $n\ge1$，$A\subseteq\mathbb R^n$ 非空，并取符号 $\bot\notin\mathbb R^n$。本附录沿用正文的空间记号，取

取指标集 $I=\{1,\ldots,n\}$。对 $i\in I$ 定义

称 $\mathcal G=\{d_i\}_{i=1}^n$ 为 $\mathcal X$ 上的坐标规范族。

定义（无穷范数）：对 $v=(v_1,\ldots,v_n)\in\mathbb R^n$，定义

命题 B.1（坐标规范的分离性）：$(\mathcal X,\mathcal G,\bot)$ 是分离扩展规范空间。对 $x,y\in A$，其全族复合度量满足

对每个 $i\in I$，单个分量 $d_i$ 分离 $\mathcal X$ 当且仅当坐标投影

为单射。

证明：$|x_i-y_i|$ 是第 $i$ 个坐标投影从 $\mathbb R$ 的通常距离拉回所得伪度量；加入 $\bot$ 后，自距、对称性、三角不等式与吸收元隔离均成立。若所有 $d_i(x,y)=0$，则 $x,y\in A$ 时全部坐标相等，从而 $x=y$；涉及 $\bot$ 时由吸收元隔离得到同样结论。全族复合度量公式由 $d_I$ 的定义得到。

对固定的 $i$，吸收元隔离已经区分 $\bot$ 与 $A$。而对 $x,y\in A$，$d_i(x,y)=0$ 当且仅当 $\pi_i(x)=\pi_i(y)$。因此，$d_i$ 分离 $\mathcal X$ 当且仅当 $\pi_i\big|_A$ 为单射。$\square$

由第一部分，附录 A 的全部点值精确化结论适用于坐标规范空间。

坐标规范分别记录各分量的差异。为得到标量距离，设 $\|\cdot\|_*$ 是 $\mathbb R^n$ 上选定的任意范数。在 $\mathcal X$ 上定义扩展距离

$d_*$ 是 $\mathcal X$ 上的扩展度量。由有限维范数等价定理，存在常数 $a_*,b_*>0$，使

这里把所有坐标开球的有限交及其任意并所成的拓扑称为坐标规范族 $\mathcal G$ 诱导的拓扑。

记 $\mathcal N_*(\varepsilon,S)$ 为 $d_*$ 下以 $S\subseteq A$ 内部点为中心的开球覆盖数。

命题 B.2（范数比较、拓扑与覆盖）：在上述记号下，以下结论成立。

(i) 球与覆盖数比较。 对任意有限正数 $\varepsilon$，每个 $x\in A$ 都满足

并且，对任意 $S\subseteq A$，

(ii) 拓扑一致性。 坐标规范族 $\mathcal G$、全族复合度量 $d_I$ 与任意 $d_*$ 在 $\mathcal X$ 上诱导相同的拓扑。

(iii) 完备性。 $A$ 在 $d_*$ 下完备当且仅当 $A$ 是 $\mathbb R^n$ 的闭集。

(iv) 紧致性。 $A$ 在 $d_*$ 下紧致当且仅当 $A$ 在 $\mathbb R^n$ 中闭且有界。

证明：

(i) 范数比较给出

分别代入两个严格距离条件，即得两侧球包含。将同一组内部中心的球放大，覆盖仍然成立，故得到覆盖数比较；没有有限覆盖时按 $+\infty$ 约定读取。

(ii) 由 $B_I(x,r)=\bigcap_{i\in I}B_i(x,r)$，每个 $d_I$-开球均为坐标规范拓扑中的开集。反之，若 $y\in B_i(x,r)$，则 $\rho=r-d_i(x,y)>0$，且三角不等式给出

所以坐标开球也是 $d_I$-开集。(i) 中的球包含又表明 $d_I$ 与 $d_*$ 在 $A$ 上诱导相同拓扑；$\bot$ 在各扩展距离下均为孤立点，故结论在 $\mathcal X$ 上成立。

(iii) 有限维赋范空间 $(\mathbb R^n,\|\cdot\|_*)$ 完备，其闭子集也完备；反之，度量空间中的完备子集必为闭集。范数等价保证这里的闭集与 $\mathbb R^n$ 通常拓扑下的闭集相同，故得到所述等价关系。

(iv) 范数等价保持紧致性与有界性。因此，由有限维空间的海涅–博雷尔定理，$A$ 在 $d_*$ 下紧致当且仅当它在 $\mathbb R^n$ 中闭且有界。$\square$

对标准欧氏范数 $\|\cdot\|_2$，任意 $v\in\mathbb R^n$ 都满足

两侧开平方，得到

在这一欧氏情形中，比较常数可取 $a_*=1$、$b_*=\sqrt n$。

于是

这里 $\mathcal N_{\mathrm{Euc}}$ 表示欧氏距离

下的内覆盖数。下标 $\mathrm{Euc}$ 用于避免与第二个坐标伪度量 $d_2$ 混淆。选择其他范数不会改变有限维空间的拓扑，但可能改变上述比较常数以及由它们导出的定量界。

命题 B.3（有界盒中的坐标覆盖上界）：设

且 $\varepsilon>0$。则

相应地，

证明：对第 $i$ 个区间取

个等长子区间；当 $a_i=b_i$ 时只取一个退化子区间。每个非退化子区间的长度严格小于 $\varepsilon$。这些子区间的有限直积以至多 $\prod_i m_i$ 个坐标直径严格小于 $\varepsilon$ 的单元覆盖外部盒。从每个与 $S$ 相交的单元中选取一个 $S$ 内点作为中心，即得 $d_I$ 下的内覆盖。欧氏上界由

及第一式得到。$\square$

命题 B.4（欧氏覆盖数的维数估计）：取 $A=\mathbb R^n$，设 $\varepsilon>0$，并记

(i) 仿射子空间内的有界集。 设 $W\subseteq\mathbb R^n$ 为 $r$ 维线性子空间，$c\in\mathbb R^n$，$R\ge0$ 为有限实数。若非空集合 $S$ 满足

则

这里不要求 $S$ 闭或紧。当 $r=0$ 时，$S=\{c\}$，覆盖数为 $1$。

(ii) 欧氏球的双侧界。 对任意有限实数 $R>0$，

(iii) 线性像的秩上界。 设 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 为秩 $r$ 的线性映射，$R\ge0$ 为有限实数，并令

则

其中

为 $T$ 的欧氏算子范数，表示向量长度的最大放大倍数；下标 $2\to2$ 表示输入与输出均用欧氏范数衡量。

当 $r=0$ 时，右侧按 $a^0=1$ 读取，且 $S_T=\{0\}$。

证明：

(i) 若 $r=0$ 或 $R=0$，则非空性给出 $S=\{c\}$，结论成立。以下设 $r\ge1$ 且 $R>0$。任取有限集 $E\subseteq S$，要求不同点之间的距离不小于 $\varepsilon$。在仿射空间 $c+W$ 内，以 $E$ 中各点为中心、半径 $\varepsilon/2$ 的开球两两不交，并都包含于以 $c$ 为中心、半径 $R+\varepsilon/2$ 的开球。比较该空间中的 $r$ 维体积，并约去单位球体积，得到

这类有限集的可能基数构成非空、有界的自然数集合，因此可取基数最大的一个，记为 $E_\varepsilon$。若某点 $x\in S$ 不在以 $E_\varepsilon$ 为中心的半径 $\varepsilon$ 开球之并中，则它到每个中心的距离均不小于 $\varepsilon$，从而可加入 $E_\varepsilon$，与基数最大性矛盾。因此，这些开球覆盖 $S$，且中心全部位于 $S$，所得内覆盖即满足所述上界。

(ii) 上界由 (i) 取 $W=\mathbb R^n$、$c=0$ 得到。对下界，设 $N$ 个半径为 $\varepsilon$ 的欧氏开球覆盖 $\overline B_2(0,R)$。比较 Lebesgue 体积得到

故 $N\ge(R/\varepsilon)^n$。

(iii) $S_T$ 非空，位于 $r$ 维线性子空间 $\operatorname{im}(T)$ 中，且对 $\|x\|_2\le R$ 有

由 (i) 取 $W=\operatorname{im}(T)$、$c=0$，并以 $\|T\|_{2\to2}R$ 为半径，即得上界；$r=0$ 时 $T=0$，故 $S_T=\{0\}$。$\square$

B.2 坐标 Lip 证书与范数估计

前面讨论了输入集合的覆盖数，下面考察算子如何传递点对距离，并用导数构造坐标 Lip 上界。

设 $O\subseteq\mathbb R^n$ 为开集，$F=(F_1,\ldots,F_n):O\to\mathbb R^n$ 连续可微，其中 $F_j:O\to\mathbb R$ 为第 $j$ 个输出坐标函数。取非空凸集 $U\subseteq A\cap O$，满足 $F(U)\subseteq A$，并定义算子 $\phi_F\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$：

于是 $\operatorname{dom}(\phi_F)=U$。

若对所有 $i,j\in I$，均有

记 $\mathbf L=(L_{i\to j})_{i,j\in I}$。箭头左端表示输入、右端表示输出，$L_{i\to j}=[\mathbf L]_{ji}$ 位于第 $j$ 行、第 $i$ 列；以下带箭头下标的矩阵均沿用这一行列约定。通过有限非负实数到 $\bar{\mathbb R}_+$ 的自然嵌入，把 $\mathbf L$ 视为扩展非负实矩阵。

命题 B.5（Jacobi 分量上界给出坐标 Lip 矩阵）：上述有限矩阵 $\mathbf L$ 属于

证明：固定 $x,y\in U$。由 $U$ 的凸性，线段 $x+t(y-x)$（$0\le t\le1$）包含于 $U$。对每个输出坐标 $j$，沿该线段应用微积分基本定理：

取绝对值并逐项使用导数上界，得到

这正是坐标规范下的 Lip 矩阵不等式。$\square$

这一构造只给出一个合法上界证书，不声称 $\mathbf L$ 的条目在 $\mathscr L(\phi_F)\big|_U$ 中逐项最小。

以下对已声明逐条目有限的非负矩阵，进行实矩阵、实向量及范数运算时，将其自然识别为非负实矩阵，并沿用原记号。有限非负实数到 $\bar{\mathbb R}_+$ 的自然嵌入保持有限和、积与序关系，因此相应实数估计也可读作扩展值不等式。

命题 B.6（坐标 Lip 矩阵的范数聚合）：设 $\phi\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$U\subseteq\operatorname{dom}(\phi)$，并取逐条目有限的矩阵 $\mathbf L\in\mathscr L(\phi)\big|_U$。记

则对任意 $x,y\in U$，

若 $w_i>0$（$i\in I$），并取加权 $\ell^1$ 范数

把由该范数诱导的扩展距离记作 $d_{1,w}$，则可直接取标量证书

即

在欧氏范数下还可取较精确的标量证书

其中 $\|\mathbf L\|_{2\to2}$ 是 $\mathbf L$ 的欧氏算子范数。

证明：由于 $x,y,\phi(x),\phi(y)$ 均属于 $A$，相关坐标距离有限；又因 $\mathbf L$ 逐条目有限，原 Lip 矩阵不等式可按上述约定读作实数不等式。对分量上界取最大值，得到

在两端使用 $a_*\|v\|_\infty\le\|v\|_*\le b_*\|v\|_\infty$ 即得第一式。

对加权 $\ell^1$ 范数，逐分量求和并交换有限求和次序，得到

对欧氏范数，令 $u=(|x_i-y_i|)_i$、$v=(|\phi_j(x)-\phi_j(y)|)_j$。逐分量有 $0\le v\le\mathbf L u$，故

又有 $\|u\|_2=d_{\mathrm{Euc}}(x,y)$ 与 $\|v\|_2=d_{\mathrm{Euc}}(\phi(x),\phi(y))$。$\square$

坐标数增多时，一个输出分量的距离上界未必需要累加全部输入分量。若所选 Lip 证书的每行只有少量非零条目，便可用实际参与求和的条目数控制最大范数下的放大。

固定逐条目有限的非负矩阵 $\mathbf L$，记

称 $\operatorname{supp}_j(\mathbf L)$ 为输出分量 $j$ 的输入上界支撑。$s_{\mathrm{row}}(\mathbf L)$ 是各行非零条目数的最大值，$L_{\max}$ 是所选矩阵的最大条目。当 $\mathbf L$ 是 Lip 证书时，这些集合记录的是所选证书的正条目，不判定算子的实际分量依赖关系。

推论 B.7（行支撑控制的距离上界）：对任意逐条目有限的非负矩阵 $\mathbf L$，有

若 $\phi\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$、$U\subseteq\operatorname{dom}(\phi)$ 且 $\mathbf L\in\mathscr L(\phi)\big|_U$，则对任意 $x,y\in U$，

证明：由于矩阵逐条目非负，对每个输出分量 $j$，

最大范数下的诱导矩阵范数等于最大行和，对 $j$ 取最大值即得第一式。再由 命题 B.6 的范数聚合得到距离上界。$\square$

因此，若每行至多有 $s$ 个非零条目，且每个条目不超过 $\lambda\ge0$，便可用 $s\lambda$ 作为上述放大上界。与仅按维数得到的 $nL_{\max}$ 相比，行支撑计数将 $n$ 换成了 $s_{\mathrm{row}}(\mathbf L)\le n$。若一族不同维数的模型中，行支撑数和条目大小都有与维数无关的统一上界，则最大范数下的 Lip 上界也可统一控制；高维本身并不迫使它增大。已知全部条目时，直接计算最大行和还可得到更精确的估计。

这一结论依赖所选范数。其他范数下的非零计数估计及其差异见 习题 B.2 与 习题 B.3；若点对只有部分坐标发生变化，还可进一步缩小求和范围，见 习题 B.5。

B.3 正交块规范与导数证书

坐标分量可以合并为子空间块。$\mathbb R^n$ 取标准欧氏内积 $\langle\cdot,\cdot\rangle$。设

是非零线性子空间的正交直和分解，并令 $P_a:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 为到 $V_a$ 的正交投影。对 $a\in H:=\{1,\ldots,r\}$，在 $\mathcal X$ 上定义

称 $\mathcal G_V=\{d_{V_a}\}_{a\in H}$ 为该正交分解在 $\mathcal X$ 上诱导的正交块规范族。

命题 B.8（正交块规范的分离性）：$(\mathcal X,\mathcal G_V,\bot)$ 是分离扩展规范空间。对任意 $x,y\in A$，

若取 $r=n$ 及 $V_i=\operatorname{span}\{e_i\}$，其中 $(e_i)_{i=1}^n$ 是标准正交基，则

证明：每个 $d_{V_a}$ 都是欧氏距离沿线性投影 $P_a$ 的拉回，因而在 $A$ 上为伪度量；加入 $\bot$ 后仍满足扩展伪度量公理和吸收元隔离。正交直和给出

若所有 $d_{V_a}(x,y)=0$，则 $x,y\in A$ 时有 $P_a(x-y)=0$（$a\in H$），故 $x-y=0$；涉及 $\bot$ 时由吸收元隔离分辨。最后，当 $V_i=\operatorname{span}\{e_i\}$ 时，

所以 $\|P_i(x-y)\|_2=|x_i-y_i|$。$\square$

沿用 § B.2 开头给定的 $U$、$O$、$F$ 与 $\phi_F$，并使用上述正交分解。记 $DF(z):\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 为 $F$ 在 $z\in O$ 处的线性导数，其标准坐标矩阵为 Jacobi 矩阵，满足

这里 $z$ 是求导位置，$DF(z)v$ 表示输入扰动 $v$ 对应的一阶输出变化。对 $a,b\in H$，定义

并假设所有 $L^V_{a\to b}$ 均有限。记 $\mathbf L^V=(L^V_{a\to b})_{a,b\in H}$，并通过自然嵌入把它视为扩展非负实矩阵。

对扰动向量 $v\in\mathbb R^n$，

右侧从内向外依次取输入块 $V_a$、计算一阶输出变化、取输出块 $V_b$；求导位置 $z$ 始终不变。因此，$L^V_{a\to b}$ 统一控制 $U$ 上从输入块 $V_a$ 到输出块 $V_b$ 的导数放大。

命题 B.9（Jacobi 块上界给出正交块 Lip 证书）：对任意 $x,y\in U$ 与 $b\in H$，

因此，$\mathbf L^V$ 是正交块规范族 $\mathcal G_V$ 下的 Lip 矩阵。若取一维标准坐标分解，则块证书还原为 § B.2 开头由导数构造的坐标证书，即

证明：固定 $x,y\in U$，并令 $z_t=x+t(y-x)$。由 $U$ 的凸性，$z_t\in U$（$0\le t\le1$）。微积分基本定理与正交分解给出

由于 $P_a^2=P_a$，上式中的算子 $P_b\circ DF(z_t)\circ P_a$ 作用于 $y-x$ 与作用于 $P_a(y-x)$ 的结果相同。再由三角不等式和 $L^V_{a\to b}$ 的定义，

这正是所需的正交块 Lip 不等式。一维标准坐标分解下，$P_j\circ DF(z)\circ P_i$ 的欧氏算子范数等于 $|\partial F_j/\partial x_i(z)|$。$\square$

B.4 范数下界与双侧估计

上面的估计控制输出差异至多放大多少。下面转向范数下界，并区分坐标 co-Lip 证书、全局距离下界与逐点导数下界。

命题 B.10（坐标 co-Lip 证书与范数下界）：

(i) 坐标证书给出范数下界。 设 $\phi\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$\emptyset\neq U\subseteq\operatorname{dom}(\phi)$，并取逐条目有限的矩阵 $\mathbf K\in\mathscr K(\phi)\big|_U$。记

这里先对每个输入坐标 $i$ 取最大的下界条目，再在输入坐标之间取最小值；取得最大值的输出坐标 $j$ 可以随 $i$ 改变。

对任意 $x,y\in U$，

从而

若 $\kappa>0$，则 $\phi$ 在 $U$ 上单射。

特别地，在欧氏范数下可取下界常数 $\kappa/\sqrt n$。

(ii) 逆向一般不成立。 取 $n=2$、$A=\mathbb R^2$。存在欧氏等距映射 $R:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$，使得算子 $\phi_R\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$（在 $\mathbb R^2$ 上等于 $R$，在 $\bot$ 处取 $\bot$）的每个合法坐标 co-Lip 矩阵 $\mathbf K\in\mathscr K(\phi_R)\big|_{\mathbb R^2}$ 都是零矩阵。因此，正的欧氏距离下界不保证存在非零坐标 co-Lip 证书。

证明：

(i) 由于 $\mathbf K$ 逐条目有限，且 $U$ 中点及其像的坐标距离均有限，co-Lip 矩阵不等式可按上述约定读作实数不等式。取 $i_0\in I$ 使

对任意 $j\in I$，co-Lip 不等式给出

对 $j$ 取最大值得第一式。再用范数等价不等式

得到第二式。若 $x\ne y$ 且 $\kappa>0$，右端严格为正，故 $\phi(x)\ne\phi(y)$。在欧氏情形中代入 $a_*=1$、$b_*=\sqrt n$，得到所述常数。

(ii) 在 $\mathbb R^2$ 上定义

令 $\phi_R$ 在 $\mathbb R^2$ 上等于 $R$，在 $\bot$ 处取 $\bot$。$R$ 是正交线性映射，故

设 $\mathbf K\in\mathscr K(\phi_R)\big|_{\mathbb R^2}$。对差向量 $(1,1)$，第一个输出坐标差为零，因此

由非负性得 $K_{1\to1}=K_{2\to1}=0$。对差向量 $(1,-1)$，第二个输出坐标差为零，同理得到

故 $\mathbf K=0$。$\square$

对于仿射算子，全空间上的最优双侧界可以由其线性部分精确计算。

命题 B.11（仿射算子的欧氏双侧界）：设 $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 为仿射算子，$F(x)=Tx+b$，其中 $T$ 为线性映射，$b\in\mathbb R^n$。记 $\sigma_{\max}(T)$ 与 $\sigma_{\min}(T)$ 分别为 $T$ 的最大与最小奇异值。

(i) 双侧界与最优常数。 存在有限常数 $0\le k\le\ell$，使对任意 $x,y\in\mathbb R^n$，

在全空间上，最小可取的上界常数与最大可取的下界常数分别为

$F$ 单射当且仅当 $\sigma_{\min}(T)>0$。将 $F$ 限制到任意子集 $U\subseteq\mathbb R^n$ 时，这两个常数仍给出合法的双侧界，但未必最优。

(ii) 正交换基不变性。 设 $Q_{\mathrm{in}},Q_{\mathrm{out}}$ 为正交矩阵，并令 $T'=Q_{\mathrm{out}}TQ_{\mathrm{in}}^{\mathsf T}$。则 $T'$ 与 $T$ 的奇异值相同，因而以 $T'$ 为线性部分的仿射算子与 $F$ 具有相同的最优欧氏双侧常数；坐标条目的绝对值矩阵及其非零支撑一般不保持。

证明：(i) 对 $v=x-y\ne0$，

当 $x,y$ 遍历全空间时，$v$ 遍历全部非零向量。因此，距离比的最大值与最小值就是单位球面上 $\|Tv\|_2$ 的最大值与最小值，分别为 $\sigma_{\max}(T)$ 与 $\sigma_{\min}(T)$，所述双侧界及其最优性随即成立。最小奇异值为正等价于 $\ker T=\{0\}$，也即 $F$ 单射。限制到 $U$ 后只减少可取的点对，故两侧界仍成立，但未必最优。

(ii) 由

可知 $(T')^{\mathsf T}T'$ 与 $T^{\mathsf T}T$ 正交相似，故奇异值相同，再由 (i) 得最优双侧常数不变。另一方面，取

则 $T$ 只有一个非零条目，而 $QTQ^{\mathsf T}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ 有四个非零条目，条目绝对值也发生改变。$\square$

在凸域上，连续可微映射的输出差可以沿连接两输入的线段积分得到。对不同的输入 $x,y$，令 $v=y-x$，积分中的向量是 $DF(x+tv)v$。仅控制这些向量的长度，不能排除它们因方向变化而相互抵消。下面给出一种充分条件：让这些向量在同一输入方向 $v$ 上始终保留足够大的正向分量。

命题 B.12（导数下界与全局 co-Lip）：

(i) 沿输入方向的正向分量给出全局下界。 设 $U\subseteq\mathbb R^n$ 为非空凸集，$O\subseteq\mathbb R^n$ 为包含 $U$ 的开集，$F:O\to\mathbb R^n$ 连续可微。若存在 $\mu>0$，使

则对任意 $x,y\in U$，

因而 $F\big|_U$ 单射。当 $v\ne0$ 时，$DF(z)v$ 在单位方向 $v/\|v\|_2$ 上的有向投影为 $\langle DF(z)v,v\rangle/\|v\|_2$；题设要求这一投影至少为 $\mu\|v\|_2$。上述条件也就是导数的二次型下界，只取决于 $DF(z)$ 的对称部。

(ii) 仅有导数长度的下界仍然不足。 存在非空凸开集 $U\subseteq\mathbb R^2$ 及连续可微映射 $F:U\to\mathbb R^2$，满足

但 $F$ 不单射，因而不存在正的全局 co-Lip 下界。由于最小奇异值是单位输入方向上导数长度的最小值，上述条件等价于 $\sigma_{\min}(DF(z))\ge1$（$z\in U$）。因此，(i) 中对正向分量的控制不能弱化为仅对长度的控制。

证明：(i) 固定 $x,y\in U$，令 $v=y-x$。由 $U$ 的凸性，$x+tv\in U$（$0\le t\le1$）。微积分基本定理给出

与 $v$ 取内积并使用题设下界，得到

另一方面，由 Cauchy-Schwarz 不等式，

当 $x=y$ 时结论直接成立；当 $x\ne y$ 时，除以 $\|v\|_2>0$ 即得所需 co-Lip 下界。若 $F(x)=F(y)$，该下界与 $\mu>0$ 进一步给出 $x=y$。