附录 E 符号表

本附录汇总第一卷中反复使用的主要通用数学符号；证明中的局部占位变量不逐项列入。

符号	概念定义	章节位置
$\mathcal{X}$	扩展规范空间底集	§ 1.1
$\mathcal{G}$	规范结构	§ 1.1
$\bar{\mathbb R}_+$	扩展非负实数集 $[0,+\infty]$	§ 1.1
$d_i$	分量伪度量	§ 1.1
$B_i(x, r)$	分量伪度量开球	§ 1.1
$I$	有限非空指标集	§ 1.1
$\mathcal{N}_i(\varepsilon, U)$	覆盖数	§ 1.2
$E_{\varepsilon, i}(U)$	度量熵	§ 1.2
$\sim_{\mathcal G}$	规范族的全分量零测距等价关系	§ 1.1
$\mathcal{X}_{\mathrm{op}}$	算子空间	§ 1.3
$\phi$	算子	§ 1.3
$\bot$	吸收元	§ 1.1
$\bot_{\mathrm{op}}$	算子吸收元	§ 1.3
$\mathrm{id}_{\mathcal X}$	算子幺半群单位元	§ 1.3
$\mathrm{dom}(\phi)$	算子定义域	§ 1.3
$\mathrm{Im}(\phi)$	算子像集	§ 1.3
$d_{\mathrm{op},i}(\phi, \psi)$	诱导算子伪度量	§ 1.3
$\mathcal G_{\mathrm{op}}$	sup 型诱导算子规范族	§ 1.3
$d_{\mathrm{op},i}(\phi, \psi)\big\vert_U$	受限评估	§ 1.3
$c_k$	给定算子链的复合算子	§ 4.1
$\mathbf{L}$	Lipschitz 矩阵	§ 2.1
$\mathbf{K}$	co-Lipschitz 矩阵	§ 2.1
$\mathbf L^{(m)}$	复合链中第 $m$ 步实际输入域上的 Lip 上界证书	推论 2.5
$\mathbf K^{(m)}$	复合链中第 $m$ 步实际输入域上的 co-Lip 下界证书	推论 2.5
$\overleftarrow{\prod}_{r=1}^{k}\mathbf L^{(r)}$	长度为 $k$ 的复合链上 Lip 证书前缀乘积	命题 4.4
$\overleftarrow{\prod}_{r=1}^{k}\mathbf K^{(r)}$	长度为 $k$ 的复合链上 co-Lip 证书前缀乘积	命题 4.4
$L_{i \to j}$	Lipschitz 矩阵第 $j$ 行、第 $i$ 列条目	§ 2.1
$K_{i \to j}$	co-Lipschitz 矩阵第 $j$ 行、第 $i$ 列条目	§ 2.1
$\mathscr{L}(\phi)$	全局 Lipschitz 矩阵集	§ 2.1
$\mathscr{L}(\phi)\big\vert_U$	受限 Lipschitz 矩阵集	§ 2.1
$\mathscr{K}(\phi)\big\vert_U$	受限 co-Lipschitz 矩阵集	§ 2.1
$I_{\mathrm{const}}(\phi \mid U)$	常值分量集	§ 3.1
$I_{\mathrm{id}}(\phi \mid U)$	恒等分量集	§ 3.1
$I_{\mathrm{act}}(\phi \mid U)$	有效分量集	§ 3.1
$\mathcal{G}_J$	指标子族 $J$ 对应的规范子族	§ 3.2
$d_J(x, y)$	子族复合伪度量	§ 1.2
$\operatorname{Fib}_{\phi, J}(y \mid U)$	受限计算纤维	§ 3.2
$\mathcal R_{=}(\phi\mid U)$	等点值输入点对集	命题 3.6
$\mathcal R_{\sim}(\phi\mid U)$	全分量零测距输入点对集	命题 3.7
$\succeq_{\mathrm{fiber},U}$	零测距纤维预序	注
$r^{\mathrm N}_{\phi, d_{\mathrm{in}}, d_{\mathrm{out}}}(y \mid U)$	零化内切半径	§ 3.3
$r^{\mathrm N}_{\phi, i, J}(y \mid U)$	分量-子族零化内切半径简写	§ 3.3
$\underline{r}^{\mathrm N}_{\phi, d_{\mathrm{in}}, d_{\mathrm{out}}}(A\mid U)$	基点集合 $A$ 关于评估域 $U$ 的统一零化半径	§ 3.3
$\underline{r}^{\mathrm N}_{\phi, d_{\mathrm{in}}, d_{\mathrm{out}}}\big\vert_U$	$A=U$ 时的统一零化半径简记	§ 3.3
$\mathbf{N}(\phi)\big\vert_U$	受限零化矩阵	§ 3.3
$\sigma_i(A)$	受限域 $A$ 的输入尺度函数，默认取 $d_i$ -直径	§ 3.4
$\tau_\sigma$	输入尺度阈值	§ 3.4
$\tau_{\mathrm N}$	统一零化半径阈值	§ 3.4
$\operatorname{Type}_{f,A}(i,j)$	算子 $f$ 在非空受限域 $A$ 上的阈值分类，记录 $\sigma_i(A)<\tau_\sigma$ 与 $\underline{r}^{\mathrm N}_{f,i,j}\big\vert_A\geq\tau_{\mathrm N}$ 是否成立	§ 3.4
$\mathcal{N}_{J}(\varepsilon, S)$	子族覆盖数	§ 1.2
$E_{\varepsilon, J}(S)$	子族度量熵	§ 1.2
$\Delta E_{\varepsilon, J_{\mathrm{in}}, J_{\mathrm{out}}}(\phi \mid U)$	映射熵差	§ 3.6
$\mathbf{d}^{(m)}$	距离向量	§ 4.1
$\rho(\mathbf{L})$	常系数 Lip 证书的谱半径	命题 4.5
$\rho(\mathbf{K})$	常系数 co-Lip 证书的谱半径	命题 4.5
$\phi\big\vert_U$	域限制算子	§ 4.4
$\psi$	由分划及对应局域算子拼接的分段算子，局部记号	§ 4.4
$\equiv_U$	局部等价	§ 4.5
$\mathcal{N}$	算子网络	§ 5.1
$\operatorname{Depth}(\mathcal N)$	有限算子网络的求值深度	§ 5.1
$\phi_{\mathcal{N}}$	网络外延算子	§ 5.1
$\mathcal T$	算子转移图	§ 5.1
$\mathcal{X}_{\mathrm{net}}$	有限算子网络对象空间	§ 5.2
$\mathcal{X}_{\mathrm{net}}^{\mathrm{dag}}$	无环算子网络对象子空间	引理 5.18
$\bot_{\mathrm{net}}$	空网络	§ 5.2
$\Gamma_{\mathrm{op}}$	算子读出	§ 5.2
$d_{\mathrm{net},i}^{\mathrm{op}}$	算子读出拉回网络伪度量	命题 5.4
$\mathcal{G}_{\mathrm{net}}^{\mathrm{op}}$	算子读出拉回网络规范族	命题 5.4
$\sim_{\mathrm{op}}$	算子读出等价关系	命题 5.5
$[\mathcal N]$	网络 $\mathcal N$ 的同外延类	命题 5.5
$\overline\Gamma$	外延不变读出在外延商上的因子映射	推论 5.6
$\operatorname{Pref}(\mathcal N)$	全部非空可达路径前缀集合	§ 5.3
$p(x)$	网络路径	§ 5.3
$\mathcal{P}(\mathcal{N})$	可达路径集	§ 5.3
$U_p$	路径域	§ 5.3
$\mathcal P[q\ast]$	以 $q$ 为前缀的完整路径族	§ 5.3
$U[q\ast]$	产生前缀 $q$ 的初始输入集合	§ 5.3
$D_q^{\mathrm{in}}$	前缀当前输入域	§ 5.3
$D_q^{\mathrm{out}}$	前缀当前输出域	§ 5.3
$D_{p,s}^{\mathrm{in}}$	固定完整路径 $p$ 在第 $s$ 个节点发生处的实际输入集	命题 5.19、§ C.1
$f_q$	前缀发生 $q$ 的局部算子	§ 5.5
$\underline{r}^{\mathrm N}_q(i,j)$	前缀发生域上的通道统一零化半径	§ 5.5
$\operatorname{Type}_q(i,j)$	前缀发生域上的阈值分类 $\operatorname{Type}_{f_q,D_q^{\mathrm{in}}}(i,j)$	§ 5.5
$\mathcal N^{\mathrm{eff}}$	有效约化网络	§ 5.4
$U_\beta^{\mathrm{eff}}$	节点 $\beta$ 的实际输入域	§ 5.4
$f_\beta^{\mathrm{eff}}$	节点 $\beta$ 的有效局域算子	§ 5.4
$D_{\beta\to\gamma}^{\mathrm{eff}}$	从 $\beta$ 到 $\gamma$ 的有效边域	§ 5.4
$T_\beta^{\mathrm{eff}}$	节点 $\beta$ 的有效终止域	§ 5.4
$\sim_{\mathrm{eff}}$	有效等价关系	§ 5.4
$\Gamma_{\mathrm{path}}$	路径分段读出	§ 5.3
$\Gamma_{\mathrm{tag}}$	标记分段读出	§ 5.4
$\overline{\Gamma}_{\mathrm{op}}$	外延商到算子空间的诱导双射	命题 5.5
$\mathcal N\to_R\mathcal N'$	一步允许加细关系	§ 5.6
$d_I$	全指标族的复合伪度量；在分离规范空间中为扩展度量	§ A.1
$d_*$	由选定范数 $\\|\cdot\\|_*$ 诱导的扩展度量	§ B.1
$d_{\mathrm{Euc}}$	欧氏范数诱导的扩展度量	命题 B.2
$\mathcal N_*(\varepsilon,S),\mathcal N_{\mathrm{Euc}}(\varepsilon,S)$	分别为范数距离 $d_*$ 、欧氏距离下的内覆盖数	命题 B.2
$L_{1,w}(\mathbf L)$	坐标 Lip 矩阵在加权 $\ell^1$ 范数下诱导的标量上界	命题 B.6
$DF(z)$	$F$ 在 $z$ 处的线性导数，其标准坐标矩阵为 Jacobi 矩阵	§ B.3
$\\|T\\|_{2\to2},\\|T\\|_{\infty\to\infty}$	分别由欧氏范数、最大范数诱导的线性算子范数	命题 B.4、§ B.2
$P_a$	正交直和分解中到子空间 $V_a$ 的正交投影	§ B.3
$d_{V_a}$	正交投影 $P_a$ 诱导的块伪度量	§ B.3
$\mathcal G_V$	正交直和分解诱导的正交块规范族	§ B.3
$\operatorname{supp}(x-y)$	坐标差向量的非零坐标支撑	§ B.7
$\mathbf L^V=(L^V_{a\to b})$	Jacobi 正交块上界组成的块 Lip 证书	§ B.3
$\operatorname{supp}_j(\mathbf L)$	所选 Lip 证书中输出分量的输入上界支撑	§ B.2
$s_{\mathrm{row}}(\mathbf L)$	坐标证书的最大行支撑数	§ B.2
$L_{\max}$	当前所选坐标证书 $\mathbf L$ 的最大条目	§ B.2
$\sigma_{\max}(T),\sigma_{\min}(T)$	线性映射 $T$ 的最大与最小奇异值	§ B.4
$A_{p,s}(x)$	路径 $p$ 在点 $x$ 的第 $s$ 个节点发生处的 Jacobi 矩阵	§ C.1
$W_U$	非空集合 $U$ 的点差张成的方向空间	引理 B.13
$A_p,r_p$	仿射路径的线性部分及其在实际路径域方向空间上的限制秩	推论 C.7