第 4 章 算子链演算

将一组算子按次序连接后，每一步的输出成为下一步的输入，首尾之间的关系因而通过实际中间像域逐步传递。本章先研究有限算子链的距离界、零距传播与熵递推，再考察链长增加时的前缀乘积，最后讨论算子的因式分解、按域分段与局部替换。

4.1 算子链及其基本性质

定义（算子链）：$\mathcal X_{\mathrm{op}}$ 中的有限有序序列 $c=(\phi_1,\ldots,\phi_k)$ 称为算子链，$k\ge0$ 为其长度。该链依次施行 $\phi_1,\ldots,\phi_k$，其复合算子记为

长度为零的链为空序列，约定其复合算子为 $c_0=\operatorname{id}_{\mathcal X}$。由算子空间的复合封闭性（§ 1.3），$c_k\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$。链的长度属于指定的序列；不同的链可以具有相同的复合算子。

定义（实际输入域序列）：设 $c=(\phi_1,\ldots,\phi_k)$ 为算子链，取非空初始集 $U_1\subseteq\operatorname{dom}(c_k)$。递归定义

称 $\{U_m\}_{m=1}^{k+1}$ 为该链相对于 $U_1$ 的实际输入域序列。其中 $U_m$ 是第 $m$ 步的输入域（$1\le m\le k$），$U_{k+1}=c_k(U_1)$ 是最终像集；空链的序列仅含 $U_1$。

这些像集均非空。由于各算子保持吸收元，一旦某个中间输出为 $\bot$，最终输出也为 $\bot$；因此 $U_1\subseteq\operatorname{dom}(c_k)$ 保证 $U_m\subseteq\operatorname{dom}(\phi_m)$（$1\le m\le k$）。后续的受限矩阵均在相应的实际输入域上读取。

距离向量递推

设给定的 $k$-步算子链具有复合算子 $c_k=\phi_k\circ\cdots\circ\phi_1$，取非空 $U_1\subseteq\operatorname{dom}(c_k)$，固定 $x,x'\in U_1$。令 $x_0=x$、$x'_0=x'$；对 $1\le m\le k$，令

定义各步中间像点的距离向量

于是 $\mathbf d^{(0)}=(d_j(x,x'))_{j\in I}$。沿上述实际输入域序列，有 $x_m,x'_m\in U_{m+1}$（$0\le m\le k$）。

约定（向量与矩阵的不等式）：除另有说明外，向量之间的 $\leq$、$\geq$ 均按分量理解，矩阵之间的 $\leq$、$\geq$ 均按条目理解。

若对各个 $0\le m<k$，已在实际输入域上选取合法证书

并记 $\mathbf N^{(m+1)}=\mathbf N(\phi_{m+1})\big|_{U_{m+1}}$，则对每个输出分量 $j\in I$，

注（截断判据所用的统一零化下界）：$[\mathbf{N}^{(m+1)}]_{ji} = \underline{r}^{\mathrm N}_{\phi_{m+1}, i, j}\big|_{U_{m+1}}$ 是零化半径的下确界（§ 3.3）。递推式只使用这个统一下界作为截断的充分判据，不使用各基点的点态零化半径。

这在 $\bar{\mathbb{R}}_+^{|I|}$ 上给出分段的距离向量约束：$\mathbf{N}$ 给出截断充分判据，$\mathbf{L}$ 给出上界，$\mathbf{K}$ 给出下界。

链级零化与熵递推

命题 4.1（算子链中的纤维截断与零距传播）：设

取 $U_1\subseteq \mathrm{dom}(c_k)$，并令 $U_{r+1}=\phi_r(U_r)$（$r=1,\ldots,k$）。对任意 $x,x'\in U_1$，定义

则 $x_m,x'_m\in U_{m+1}$（$0\le m<k$）。

(i) 若对某个 $0\le m<k$ 有

则

(ii) 更一般地，若某一级 $s$ 满足 $0\le s\le q\le k$ 且

并且对每个 $p=s+1,\ldots,q$ 存在合法 Lip 矩阵

则

证明：由 $U_{r+1}=\phi_r(U_r)$ 的递推定义，$x_m,x'_m\in U_{m+1}$。从第 $m$ 级到第 $m+1$ 级的截断结论是 命题 3.11 对 $\phi_{m+1}$、$U_{m+1}$、$x_m$ 与 $x'_m$ 的直接应用。

若 $q=s$，结论正是前提。以下设 $q>s$。若第 $s$ 级满足全分量零距，则对任意 $p=s+1,\ldots,q$，Lip 不等式给出

其中最后等号使用 $\bar{\mathbb{R}}_+$ 中 $a\cdot 0=0$（包括 $a=+\infty$）。由数学归纳，$x_q$ 与 $x'_q$ 在所有分量上零测距。$\square$

命题 4.2（算子链的零化矩阵下界）：设算子链的复合为 $c_k = \phi_k \circ \cdots \circ \phi_1 \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$（$k \ge 2$），指定非空初始子集 $U_1 \subseteq \mathrm{dom}(c_k)$，令实际输入域序列为 $U_{m+1} = \phi_m(U_m)$（$m = 1, \ldots, k$）。设各后续层算子在对应像集上存在合法 Lip 矩阵 $\mathbf L^{(m)} \in \mathscr{L}(\phi_m)\big|_{U_m}$（$m = 2, \ldots, k$）。则复合零化矩阵满足：

即：对任意 $y\in U_1$ 及有限正数 $r < \min_{l \in I} [\mathbf{N}(\phi_1)\big|_{U_1}]_{li}$，首层算子 $\phi_1$ 在 $B_i(y, r) \cap U_1$ 内将所有分量归零（$d_l(\phi_1(x), \phi_1(y)) = 0$，$\forall l$），从而全链在同一球内对 $d_j$ 亦归零。

证明：令

若 $M=0$，结论平凡。以下设 $M>0$。

取任意 $0 < r < M$，任意基点 $y \in U_1$，任意 $x \in B_i(y, r) \cap U_1$：

对任意 $l\in I$，有

由于 $r^{\mathrm N}_{\phi_1,i,l}(y\mid U_1)$ 是合法半径集的上确界且 $r$ 严格小于该上确界，存在合法半径 $\rho>r$ 使

因此

由于 $x\in B_i(y,r)\cap U_1$，得到

由 命题 4.1(ii)，取起始层 $s=1$、终止层 $q=k$，首层所得的全分量零距沿后续 Lip 矩阵逐层保持，故 $d_j(c_k(x),c_k(y))=0$。

由此，对任意 $0<r<M$，

故

令 $r\uparrow M$，得到 $r^{\mathrm N}_{c_k,i,j}(y\mid U_1)\ge M$；当 $M=+\infty$ 时，该结论表示对任意有限 $r$ 均成立。再对 $y\in U_1$ 取下确界，即

证毕。$\square$

注（非平凡性条件）：$\min_l [\mathbf{N}(\phi_1)\big|_{U_1}]_{li} > 0$ 在本命题中表示存在统一的正半径，使每个基点的 $d_i$-球与 $U_1$ 的交集同时落入所有输出分量的零距纤维。若该最小值为 $0$，本命题只给出 $0$ 下界；是否具有正零化半径还需另行判断。

沿同一算子链，还可以比较初始集与逐步像集的度量熵。

推论 4.3（算子链的熵递推等式）：设 $c_k = \phi_k \circ \cdots \circ \phi_1$（$k\ge0$），固定分量 $i\in I$ 与有限正精度 $\varepsilon$。取非空 $U_1\subseteq\operatorname{dom}(c_k)$，令 $U_{m+1}=\phi_m(U_m)$（$1\le m\le k$）。若各 $U_m$（$1\le m\le k+1$）的度量熵 $E_{\varepsilon,i}(U_m)$ 均为有限实数，则

证明：由实际输入域序列的性质，$U_m\subseteq\operatorname{dom}(\phi_m)$（$1\le m\le k$）。各步两端熵均有限，故映射熵差良定，并且

第二等式由有限实数列的相邻差相消得到，移项即得结论。$k=0$ 时求和为空，等式仍成立。$\square$

注（熵递推与有限步归零）：在各步参与运算的熵均有限时，推论 4.3 把链尾熵写成初始熵减去前缀熵差和。一致正熵差下界下的有限步归零估计见 习题 4.3。

4.2 长链的前缀乘积分析

为考察链长增加时的距离变化，本节沿实际输入域选取各步的 L/K 证书，并研究其有序乘积。沿用 推论 2.5 的括号上标约定：$\mathbf L^{(m)}$ 与 $\mathbf K^{(m)}$ 表示第 $m$ 步证书。设

在每一步的实际输入域 $U_m$ 上，分别选取证书

约定（矩阵乘积的顺序）：相应的有序前缀乘积写为

箭头表示较大指标的矩阵写在左侧；空乘积取单位矩阵 $\mathbf I$。

当同一个证书反复使用时，前缀乘积成为矩阵幂，可以进一步用谱半径估计。本节的谱分析限定于有限值矩阵。

命题 4.4（一般链前缀乘积的渐近判据）：设 $(\phi_m)_{m\ge1}\subseteq\mathcal X_{\mathrm{op}}$，取非空集合 $U_1$，递归定义 $U_{m+1}=\phi_m(U_m)$，并假设 $U_m\subseteq\operatorname{dom}(\phi_m)$ 对所有 $m\ge1$ 成立。对每个 $k\ge1$，令 $c_k=\phi_k\circ\cdots\circ\phi_1$。

(i)（L 前缀乘积） 若对每个 $m$ 选取

则

并且对任意 $x,x'\in U_1$ 与 $j\in I$，

若固定 $x,x'\in U_1$、$j\in I$，且

则 $d_j(c_k(x),c_k(x'))\to0$。特别地，若 $d_i(x,x')<+\infty$ 对所有 $i\in I$ 成立，且对所有 $i\in I$ 都有

则上述收敛成立。

(ii)（K 前缀乘积） 若对每个 $m$ 选取

则

并且对任意 $x,x'\in U_1$ 与 $j\in I$，

对固定 $x,x'\in U_1$，若存在 $i,j\in I$ 与子序列 $k_n$ 使

且 $d_i(x,x')>0$，则 $d_j(c_{k_n}(x),c_{k_n}(x'))\to+\infty$。

证明：由 $U_m\subseteq\operatorname{dom}(\phi_m)$ 与 $U_{m+1}=\phi_m(U_m)$ 逐步递推，得到

因此可应用有限复合的局部矩阵界 推论 2.5，得到

将 Lip 与 co-Lip 定义分别写到点对 $x,x'\in U_1$ 上，即得两组不等式。

L 情形中，若右侧上界趋于 $0$，由非负性和夹逼得到 $d_j(c_k(x),c_k(x'))\to0$。若每个源分量初始距离有限且各条目 $\left[\overleftarrow{\prod}_{r=1}^{k}\mathbf L^{(r)}\right]_{i\to j}\to0$，由于 $I$ 有限，有限和也趋于 $0$。

K 情形中，

若 $0<d_i(x,x')<+\infty$，右侧趋于 $+\infty$；若 $d_i(x,x')=+\infty$，则在 $\left[\overleftarrow{\prod}_{r=1}^{k_n}\mathbf K^{(r)}\right]_{i\to j}>0$ 的尾段右侧为 $+\infty$。因此目标分量沿该子序列趋于 $+\infty$。$\square$

记 $\rho(\mathbf M)$ 为有限非负矩阵 $\mathbf M$ 的谱半径。下列命题只处理同一个有限值证书在同一不变域上反复使用的情形。

命题 4.5（常系数 L/K 证书的谱充分判据）：设 $\phi\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$U\subseteq\operatorname{dom}(\phi)$，且 $\phi(U)\subseteq U$。

(i)（L 收缩充分证书） 若存在有限值 Lip 矩阵

满足 $\rho(\mathbf L)<1$，则对每个 $k\ge1$ 有 $\mathbf L^k\in\mathscr L(\phi^k)\big|_U$，且对任意 $x,x'\in U$、$j\in I$，

若进一步 $d_i(x,x')<+\infty$ 对所有 $i\in I$ 成立，则 $d_j(\phi^k(x),\phi^k(x'))\to0$。

(ii)（K 子序列扩张证书） 若存在有限值 co-Lip 矩阵

则对每个 $k\ge1$ 有 $\mathbf K^k\in\mathscr K(\phi^k)\big|_U$，且对任意 $x,x'\in U$、$j\in I$，

若存在 $i,j\in I$ 与正整数子序列 $k_n\to+\infty$ 使 $[\mathbf K^{k_n}]_{i\to j}\to+\infty$，且 $d_i(x,x')>0$，则 $d_j(\phi^{k_n}(x),\phi^{k_n}(x'))\to+\infty$。特别地，当 $\rho(\mathbf K)>1$ 时，有限非负矩阵幂不可能逐条目有界；由于 $I^2$ 有限，存在固定的 $i,j\in I$ 与正整数子序列 $k_n$ 使 $[\mathbf K^{k_n}]_{i\to j}\to+\infty$。对于任何满足 $d_i(x,x')>0$ 的点对，因而适用上述结论。

证明：由 $\phi(U)\subseteq U$，同一个证书可在每一步限制到实际像域

对任意 $k\ge1$，推论 2.5 给出

点态不等式由 Lip 与 co-Lip 定义直接得到。

若 $\rho(\mathbf L)<1$，有限非负矩阵幂满足 $\mathbf L^k\to\mathbf0$，故有限初始距离下右侧有限和趋于 $0$。

K 分支的子序列结论由下界不等式直接给出。若 $\rho(\mathbf K)>1$ 而每个条目序列 $[\mathbf K^k]_{i\to j}$ 都有界，则有限个条目的共同上界将使任一矩阵范数下的 $\|\mathbf K^k\|$ 有界，与谱半径公式给出的指数增长矛盾。故至少一个固定条目无界；从该非负无界序列中可选取趋于 $+\infty$ 的子序列。$\square$

注（谱判据的适用范围）：命题 4.5 只在其两个充分条件分支内给出结论；对 $\rho(\mathbf L)\ge1$ 或 $\rho(\mathbf K)\le1$ 的情形，本命题不作实际映射行为结论。若沿实际像域选取随 $m$ 变化的局部证书，则应回到 命题 4.4 的前缀乘积。

4.3 代数因式分解

前两节从给定的算子链估计复合结果。下面反过来固定一个算子，考察它能否分解为若干次作用的复合；本节先讨论不附加距离约束的代数分解。

定义（代数因式分解）：设 $\phi \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$。称 $\phi$ 在幺半群 $(\mathcal{X}_{\mathrm{op}}, \circ, \mathrm{id}_{\mathcal{X}})$ 中可因式分解，若存在 $\phi_1, \phi_2 \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$（$\phi_1 \neq \mathrm{id}$，$\phi_2 \neq \mathrm{id}$）使得 $\phi = \phi_2 \circ \phi_1$。否则称 $\phi$ 为不可约算子。这里排除了恒等因子，因为 $\phi = \phi \circ \mathrm{id} = \mathrm{id} \circ \phi$ 是幺半群中的平凡分解。

以下只讨论保持吸收元的全体自映射，不限制因子的 Lip、co-Lip、零化数据或局部结构。

命题 4.6（算子的普遍可分解性）：设 $|\mathcal{X}| \geq 4$。则 $(\mathcal{X}_{\mathrm{op}}, \circ, \mathrm{id}_{\mathcal{X}})$ 中每个算子 $\phi \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$（包括 $\mathrm{id}_{\mathcal{X}}$ 自身）均可因式分解——$\mathcal{X}_{\mathrm{op}}$ 中不存在不可约算子。

证明：取三个互异的非吸收点 $a,b,c$。对换 $(a\;b)$ 与 $(a\;c)$ 均固定 $\bot$，且彼此不同，故其中至少有一个不同于 $\phi$，记为 $\tau$。令

由于 $\tau\circ\tau=\operatorname{id}_{\mathcal X}$，有 $\phi_2\circ\phi_1=\phi$。两个因子均保持吸收元，且 $\phi_1\ne\operatorname{id}_{\mathcal X}$。若 $\phi_2=\operatorname{id}_{\mathcal X}$，则 $\phi=\phi\circ\tau\circ\tau=\tau$，与所选 $\tau\ne\phi$ 矛盾。因此该分解的两个因子都不是恒等算子。$\square$

注（三点空间上的不可约算子）：命题 4.6 的基数前提不能直接去掉。当 $\mathcal{X}=\{\bot,a,b\}$ 时，对换 $\tau(a)=b,\tau(b)=a,\tau(\bot)=\bot$ 在 $(\mathcal{X}_{\mathrm{op}},\circ,\mathrm{id}_{\mathcal{X}})$ 中不可因式分解。

证明：若 $\tau=\phi_2\circ\phi_1$，且 $\phi_1,\phi_2\neq\mathrm{id}$。由

$$\phi_2(\phi_1(a))=b,\qquad \phi_2(\phi_1(b))=a$$

可知 $\phi_1(a)$ 与 $\phi_1(b)$ 不能等于 $\bot$，且二者不相等。因此 $\{\phi_1(a),\phi_1(b)\}=\{a,b\}$。若 $\phi_1$ 在 $\{a,b\}$ 上为恒等，则 $\phi_1=\mathrm{id}$，矛盾；若 $\phi_1=\tau$，则 $\phi_2$ 必须在 $\{a,b\}$ 上为恒等且固定 $\bot$，故 $\phi_2=\mathrm{id}$，矛盾。因此不存在这样的非平凡因式分解。$\square$

注（不可约性的使用范围）：上述结论针对保持吸收元的全体自映射。若限制允许的因子类别，例如要求因子满足指定的 Lip 或 co-Lip 条件，则应在该类别中重新定义并考察不可约性。

给定因式分解后，各因子的 Lip 与 co-Lip 证书按复合律（命题 2.2、命题 2.4）给出复合算子的界；统一零化半径的复合下界见 命题 3.12。

4.4 域限制与分段构造

定义（域限制算子）：设 $\phi \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$，非空子集 $U \subseteq \mathrm{dom}(\phi)$。定义域限制算子 $\phi\big|_U: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$：

因 $U \subseteq \mathrm{dom}(\phi)$ 且 $\bot \notin \mathrm{dom}(\phi)$（§ 1.3），有 $\bot \notin U$，故 $\phi\big|_U(\bot) = \bot$。因此 $\phi\big|_U \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$，$\mathrm{dom}(\phi\big|_U) = U$。

注（$\bot$-补全的代数意义）：域限制通过吸收元 $\bot$ 实现偏函数的全函数化，保持 $\mathcal{X}_{\mathrm{op}}$ 空间归属。受限矩阵的计算范围仍由记号 $\big|_U$ 指定；域外取 $\bot$ 只负责把限制对象重新放回全函数空间。

命题 4.7（域限制与复合的相容性）：设 $\phi_1, \phi_2 \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$，$U \subseteq \mathrm{dom}(\phi_2 \circ \phi_1)$（$U \neq \emptyset$）。则：

即域限制与复合相容：限制复合等于逐步限制后再复合，其中中间域为 $\phi_1(U)$。

证明：由 $U\subseteq\operatorname{dom}(\phi_2\circ\phi_1)$，有 $U\subseteq\operatorname{dom}(\phi_1)$ 及 $\phi_1(U)\subseteq\operatorname{dom}(\phi_2)$，故等式右侧的两个域限制均已定义。

对 $x \in U$，有

右侧满足

故

对 $x \notin U$，有

右侧满足 $\phi_1\big|_U(x)=\bot$。又因为 $\bot \notin \mathrm{dom}(\phi_1)\supseteq U$，$\phi_1$ 在 $U$ 上的像不含 $\bot$，即

故

两边对所有 $x\in\mathcal X$ 取值相同，结论成立。$\square$

约定（全域记号）：沿用 $\mathscr L(\phi)$ 的全域记号。当 $\mathrm{dom}(\phi)\ne\emptyset$ 时，也简记 $\mathscr K(\phi):=\mathscr K(\phi)\big|_{\mathrm{dom}(\phi)}$、$\mathbf N(\phi):=\mathbf N(\phi)\big|_{\mathrm{dom}(\phi)}$。

命题 4.8（受限域上的证书单调性）：设 $\phi \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$，$U \subseteq \mathrm{dom}(\phi)$（$U \neq \emptyset$）。则：

(i)（Lip 矩阵族的包含关系）：$\mathscr{L}(\phi) \subseteq \mathscr{L}(\phi)\big|_U$。即任何全域 Lip 矩阵在局部仍然有效。

(ii)（co-Lip 矩阵族的包含关系）：$\mathscr{K}(\phi) \subseteq \mathscr{K}(\phi)\big|_U$。即任何全域 co-Lip 矩阵在局部仍然有效。

(iii)（零化扩大）：$[\mathbf{N}(\phi)]_{ji} \leq [\mathbf{N}(\phi)\big|_U]_{ji}$（逐元素）。即 $\underline{r}^{\mathrm N}_{\phi, d_i, d_j}\big|_U \geq \underline{r}^{\mathrm N}_{\phi, d_i, d_j}$：受限域上的统一零化半径不小于全定义域上的值。

证明：在 引理 2.1、引理 2.3 中取 $V=\operatorname{dom}(\phi)$，分别得到 (i)、(ii)。在 命题 3.14(ii) 中取 $f=\phi$、$A=\operatorname{dom}(\phi)$、$B=U$，再按零化矩阵的定义逐条目读取，即得 (iii)。$\square$

注（受限域证书的局部性）：命题 4.8 是域分解的代数基础：后续只在实际使用的子域上读取 L/K/N 证书，而不把全域证书视为唯一有效描述。

定义域分划与分段算子

定义（定义域分划）：设 $U \subseteq \mathcal{X}$（$U \neq \emptyset$），有限族 $\{U_m\}_{m=1}^M$（$M \geq 1$）称为 $U$ 的分划，若：$U_m \neq \emptyset$（$\forall m$），$U_m \cap U_n = \emptyset$（$m \neq n$），$\bigsqcup_{m=1}^M U_m = U$。

定义（分段算子）：设 $\{U_m\}_{m=1}^M$ 为 $U$ 的分划，$\{\phi_m \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}\}_{m=1}^M$ 为对应的局域算子族，且 $U_m \subseteq \mathrm{dom}(\phi_m)$（$\forall m$）。定义分段算子 $\psi: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$：

由分划的互斥穷尽性，$\psi$ 在 $U$ 上良定义。$\mathrm{dom}(\psi) = U$。因 $U_m \subseteq \mathrm{dom}(\phi_m)$ 且 $\bot \notin \mathrm{dom}(\phi_m)$（§ 1.3 约定），有 $\bot \notin U_m$（$\forall m$），从而 $\bot \notin U$，故 $\psi(\bot) = \bot$，$\psi \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$。

推论 4.9（域分解与合成恒等式）：设 $\phi\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$\{U_m\}_{m=1}^M$ 为非空集 $U\subseteq\mathrm{dom}(\phi)$ 的分划。将各域限制算子 $\phi\big|_{U_m}$ 拼接为分段算子 $\psi$，则

并且 $\psi=\phi$ 当且仅当 $U=\mathrm{dom}(\phi)$。

证明：若 $x\in U$，取其所属分划块 $U_m$，则 $\psi(x)=\phi\big|_{U_m}(x)=\phi(x)$；若 $x\notin U$，则 $\psi(x)=\bot$。这正是 $\phi\big|_U$ 的定义，故 $\psi=\phi\big|_U$。

若 $\psi=\phi$，由 $\mathrm{dom}(\psi)=U$ 得 $U=\mathrm{dom}(\phi)$。反之，若 $U=\mathrm{dom}(\phi)$，则 $\phi$ 在 $U$ 外也取值 $\bot$，故 $\phi\big|_U=\phi$，从而 $\psi=\phi$。$\square$

约定（逐条目极值记号）：$\inf \mathscr{L}(\phi)\big|_U$ 与 $\sup \mathscr{K}(\phi)\big|_U$ 均指矩阵族中各条目分别取逐条目 $\inf$ 或 $\sup$，不蕴含该极值被某个矩阵族元素同时取到。若矩阵族为空，约定 $\inf \emptyset = +\infty$（Lip 无合法证书）、$\sup \emptyset = 0$（co-Lip 无下界保证）。

命题 4.10（分段合成的全域证书比较界）：设 $\psi$ 是由 $U$ 的分划 $\{U_m\}_{m=1}^M$ 与局域算子族 $\{\phi_m\}_{m=1}^M$ 按上述定义拼接得到的分段算子。则 $\psi$ 在全域 $U$ 上的受限矩阵满足：

(i)（全域 Lip 条目的下界）：对任意 $\mathbf{L} \in \mathscr{L}(\psi)\big|_U$，

等价地，$\inf \mathscr{L}(\psi)\big|_U \geq \max_m \inf \mathscr{L}(\phi_m)\big|_{U_m}$（逐条目 $\inf$）。跨分区点对属于 $U$ 内点对，因而会施加各局域证书中没有出现的额外约束；上述不等式本身不提供有限条目保证。

(ii)（全域 co-Lip 条目的上界）：对任意 $\mathbf{K} \in \mathscr{K}(\psi)\big|_U$，

等价地，$\sup \mathscr{K}(\psi)\big|_U \leq \min_m \sup \mathscr{K}(\phi_m)\big|_{U_m}$（逐条目 $\sup$）。且若存在跨分区点对 $x \in U_m$、$x' \in U_n$（$m \neq n$）使得 $d_i(x, x') > 0$ 但 $d_j(\phi_m(x), \phi_n(x')) = 0$，则 $\sup_{K \in \mathscr{K}(\psi)|_U} [K]_{i \to j} = 0$。

证明：

(i) 取 $\mathbf L\in\mathscr L(\psi)\big|_U$。固定分划块 $U_m$，并取任意 $x,y\in U_m$。由分段算子的定义，

因此对每个 $j\in I$，