卷 I：规范空间与算子

导论

我们常常习惯在欧氏空间中讨论问题：用坐标描述对象，用距离衡量差异。这些熟悉的结构为推理提供了方便。然而，面对更一般的对象时，我们未必一开始就有可用的坐标、加法或预先指定的距离。有时，我们掌握的只是几种比较对象的方式：从一个方面看，它们有所不同；换一个方面看，它们又可能没有差别。同一种差异可能被多种比较方式同时反映，而两个确实不同的对象，也可能无法被现有的比较方式区分。

从这些有限的分辨方式出发，我们能够建立怎样的空间结构？当变换作用于这些对象时，原有的差异又会怎样变化？有些差异可能被放大，有些被缩小，还有些在所考察的分辨方式下完全消失。同一个变换在不同输入区域上的表现，也未必一致；多个变换接续作用时，这些局部差异还会影响整体行为。本卷将从这些问题出发，研究空间、算子及其复合。

我们将先建立比较对象与变换的语言，再从不同分量、输入区域和分辨精度考察算子的作用。在此基础上，逐步转向复合与分段结构，用算子链和有限算子网络描述它们。这样的安排使单个变换的分析能够延伸到具有不同求值路径的整体，同时保留对各步实际作用区域的关注。

阅读本卷时宜熟悉集合与映射、上下确界和基本线性代数；专题附录的微分部分还需要相应的微积分背景。各章习题用于熟悉概念、练习计算并辨明结论的适用范围，完整解答集中在 附录 D。