第 3 章 算子局部退化

算子可能使原本可区分的点在某些分量伪度量下变得不可区分。本章先用分量分划与计算纤维描述受限域上的局部退化，并通过纤维比较给出像值因子化的判据。随后用零化半径衡量纤维的局部范围，研究输入尺度与零化半径对像集覆盖数的约束，最后以映射熵差描述指定精度下输入、输出覆盖熵的变化。

3.1 分量分划及其复合性质

为描述算子在给定子集上的局部行为，先根据各分量伪度量下的零距关系，对指标集作如下划分。

定义（分量分划）：设 $\phi\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$\mathcal G=\{d_i\}_{i\in I}$ 为给定规范结构，$U\subseteq\mathrm{dom}(\phi)$。依次定义：

• 常值分量

• 恒等分量

• 有效分量

上述分划采用常值优先：同时满足输出两两零距与输出、输入逐点零距条件的指标，归入常值分量。当 $U=\mathrm{dom}(\phi)$ 时，称为全域分划，并省略记号中的限制后缀 $\mid U$。

这些分量类型与前章的矩阵界有如下联系。

命题 3.1（分量类型的矩阵约束）：设 $\phi\in\mathcal{X}_{\mathrm{op}}$，$U\subseteq\mathrm{dom}(\phi)$，$i\in I$。

(i) 若 $i\in I_{\mathrm{const}}(\phi\mid U)$，则输出分量 $i$ 的 Lip 上界可取零行：对所有 $x,y\in U$，

(ii) 若 $i\in I_{\mathrm{const}}(\phi\mid U)$ 且 $\mathbf K\in\mathscr K(\phi)\big|_U$，则对任意源分量 $k\in I$，只要存在 $x,y\in U$ 使 $d_k(x,y)>0$，必有

(iii) 若 $i\in I_{\mathrm{id}}(\phi\mid U)$，则

证明：

(i) 常值分量条件给出左端恒为 $0$；右端为零行求和，亦为 $0$。

(ii) 由 $i\in I_{\mathrm{const}}(\phi\mid U)$，对任意 $x,y\in U$ 有 $d_i(\phi(x),\phi(y))=0$。若某 $k$ 与点对 $x,y$ 满足 $d_k(x,y)>0$，co-Lip 不等式给出

由非负性与 $d_k(x,y)>0$ 得 $K_{k\to i}=0$。

(iii) 由 $i\in I_{\mathrm{id}}(\phi\mid U)$，对任意 $z\in U$ 有 $d_i(\phi(z),z)=0$。三角不等式给出

反向同理：

合并即得等式。$\square$

下面考察分量分划 $(I_{\mathrm{const}}, I_{\mathrm{id}}, I_{\mathrm{act}})$ 在算子复合下的包含关系。

命题 3.2（复合下的有效分量包含与恒等分量保留）：(i) 对于复合算子 $\phi_2 \circ \phi_1 \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$，给定初始受限子集 $U \subseteq \mathrm{dom}(\phi_2 \circ \phi_1)$：

(ii) 对任意有限复合 $c_n = \phi_n \circ \cdots \circ \phi_1$，设 $U_1 \subseteq \mathrm{dom}(c_n)$，令 $U_{m+1} = \phi_m(U_m)$，则

换言之，若对某个分量 $d_i$，全复合中每个单体算子在对应受限像集 $U_m$ 上均非有效，则复合算子在 $U_1$ 上也非有效。

(iii) 恒等分量保留：

证明：

(i) 取逆否。设

也就是说，$\phi_1$ 在 $U$ 上、$\phi_2$ 在像集 $\phi_1(U)$ 上各自为恒等或常值。需证

设 $x,y\in U$。分四种情况：

(a) $i \in I_{\mathrm{id}}(\phi_1 \mid U)$ 且 $i \in I_{\mathrm{id}}(\phi_2 \mid \phi_1(U))$：

又由 命题 3.1 的恒等分量保距性质，对任意 $x,y\in U$，

由于 $i\in I_{\mathrm{id}}(\phi_1\mid U)$ 已排除 $\phi_1$ 的输出两两零距，复合的输出也不可能两两零距。因此 $i\in I_{\mathrm{id}}(\phi_2\circ\phi_1\mid U)$。

(b) $i \in I_{\mathrm{id}}(\phi_1 \mid U)$ 且 $i \in I_{\mathrm{const}}(\phi_2 \mid \phi_1(U))$：

故 $i \notin I_{\mathrm{act}}(\phi_2 \circ \phi_1 \mid U)$。

(c) $i \in I_{\mathrm{const}}(\phi_1 \mid U)$ 且 $i \in I_{\mathrm{id}}(\phi_2 \mid \phi_1(U))$： 两次应用三角不等式得：

其中：$d_i(\phi_2(\phi_1(x)), \phi_1(x)) = 0$（由 $\phi_1(x) \in \phi_1(U)$ 及 $\phi_2$ 约束）；$d_i(\phi_1(x), \phi_1(y)) = 0$（由 $\phi_1$ 常值）；$d_i(\phi_1(y), \phi_2(\phi_1(y))) = 0$。 故 $i \notin I_{\mathrm{act}}(\phi_2 \circ \phi_1 \mid U)$。

(d) $i \in I_{\mathrm{const}}(\phi_1 \mid U)$ 且 $i \in I_{\mathrm{const}}(\phi_2 \mid \phi_1(U))$：

故 $i \notin I_{\mathrm{act}}(\phi_2 \circ \phi_1 \mid U)$。

(ii) 对复合长度归纳。空复合 $c_0$ 是恒等算子，其各分量均为常值或恒等，故 $I_{\mathrm{act}}(c_0\mid U_1)=\varnothing$，结论成立。

假设结论对长度 $n$ 成立。对 $c_{n+1}=\phi_{n+1}\circ c_n$，有 $U_1\subseteq\mathrm{dom}(c_n)$ 且 $U_{n+1}=c_n(U_1)$。由 (i) 及归纳假设，

(iii) 设 $i$ 属于左侧交集。对所有 $x \in U$，由三角不等式公设：

结合 (i) 的情形 (a) 中排除常值分量的论证，得到 $i\in I_{\mathrm{id}}(\phi_2\circ\phi_1\mid U)$。$\square$

注（复合分量保持的逆向蕴含一般不成立）：同一个两点换位例同时说明 命题 3.2 的 (i) 与 (iii) 一般不能反向：即使 $i \in I_{\mathrm{act}}(\phi_1 \mid U) \cap I_{\mathrm{act}}(\phi_2 \mid \phi_1(U))$，复合后也可能落入恒等分量；即使 $\phi_1,\phi_2$ 在各自受限域上均不属于 $d_i$-恒等分量，复合也可能属于 $d_i$-恒等分量。

证明：取 $\mathcal X=\{\bot,a,b\}$，$U=\{a,b\}$，规范结构只有一个分量 $d_i$。令

$$d_i(a,b)=d_i(b,a)=1,\qquad d_i(x,x)=0\quad(x\in\mathcal X),$$

并令吸收元与其余各点之间的距离为 $+\infty$。

令 $\phi_1,\phi_2$ 都保持吸收元，并定义

$$\phi_1(a)=\phi_2(a)=b,\qquad \phi_1(b)=\phi_2(b)=a.$$

于是 $\phi_1(U)=U$，两步均在同一子集 $U$ 上考察。

对 $r=1,2$，有

$$d_i(\phi_r(a),\phi_r(b))=d_i(b,a)=1,$$

故 $i$ 不是常值分量；又有

$$d_i(\phi_r(a),a)=d_i(b,a)=1,$$

故 $i$ 也不是恒等分量。因此，两步均满足

$$I_{\mathrm{act}}(\phi_r\mid U)=\{i\},\qquad I_{\mathrm{id}}(\phi_r\mid U)=\varnothing.$$

复合算子则将 $a,b$ 分别映回自身，且两个输出之间的距离仍为 $1$，所以

$$I_{\mathrm{id}}(\phi_2\circ\phi_1\mid U)=\{i\},\qquad I_{\mathrm{act}}(\phi_2\circ\phi_1\mid U)=\varnothing.$$

因此，命题 3.2 的 (i) 中，右侧为 $\{i\}$，左侧为空集；(iii) 中，右侧为 $\{i\}$，左侧为空集。两条包含关系在此均为严格包含，反向包含都不成立。$\square$

命题 3.3（常值分量的单侧保持与非封闭性）：设子集 $U \subseteq \mathrm{dom}(\psi \circ \phi)$。常值分量集合 $I_{\mathrm{const}}$ 在复合映射中满足以下单侧规律：

(i) 外侧常值保持：若外侧算子在内侧的像集上属于常值分量，则复合算子在同一分量上也属于常值分量：

(ii) 内侧常值未必保持：若内侧算子在 $U$ 上退化，由于外侧算子可能区分内侧输出中同分量零距的点，复合算子一般不继承该特征：

若外侧算子的相应输出上界仅包含同一输入分量，则可以保持内侧的常值退化，见 推论 3.4。

证明： (i) 条件 $i \in I_{\mathrm{const}}(\psi \mid \phi(U))$ 蕴含：对任意 $z_1, z_2 \in \phi(U)$，恒有 $d_i(\psi(z_1), \psi(z_2)) = 0$。令 $z_1 = \phi(x), z_2 = \phi(y)$，其中 $x, y \in U$，代入即得

由常值分量定义即得 $i\in I_{\mathrm{const}}(\psi\circ\phi\mid U)$。

(ii) 反例：取 $\mathcal X=\{\bot,a,b,p,q,r,s\}$，$I=\{i,m\}$。对 $k\in I$，令

在非吸收元部分，令 $d_i(p,q)=d_i(q,p)=0$，其余不同点之间的 $d_i$-距离均为 $1$；令 $d_m$ 为不同点之间距离为 $1$ 的离散度量。$d_i$ 将 $p,q$ 合为一个零距类，并在不同零距类之间取距离 $1$，故这两个分量均满足扩展伪度量公理。

取 $U=\{a,b\}$，定义 $\phi(a)=p$、$\phi(b)=q$、$\psi(p)=r$、$\psi(q)=s$，两个算子在其余点均取值 $\bot$。则：

• $d_i(\phi(a), \phi(b)) = d_i(p,q) = 0$，故 $i \in I_{\mathrm{const}}(\phi \mid U)$；
• $(\psi \circ \phi)(a) = r$，$(\psi \circ \phi)(b) = s$，$d_i(r, s) = 1 > 0$，故 $i \notin I_{\mathrm{const}}(\psi \circ \phi \mid U)$。

这里 $\phi(U)$ 在 $d_m$ 下可分辨（$d_m(p,q) = 1$），而复合输出在 $d_i$ 下亦可分辨。$\square$

推论 3.4（常值分量在复合中的保持条件）：设 $c=\psi\circ\phi$，$U\subseteq\mathrm{dom}(c)$。若 $j\in I_{\mathrm{const}}(\phi\mid U)$，且存在 $\mathbf L\in\mathscr L(\psi)\big|_{\phi(U)}$ 满足 $L_{k\to j}=0$ 对所有 $k\ne j$ 成立，则

证明：由所选 Lip 矩阵第 $j$ 行的零项条件，对任意 $x,y\in U$ 有

其中末项由 $j\in I_{\mathrm{const}}(\phi\mid U)$ 得到。故复合输出在 $d_j$ 下两两零距，按定义属于常值分量。$\square$

3.2 计算纤维与像值因子化

给定算子、受限子集与规范子族，我们考察所有输出与指定目标点零距的输入点。本节将这样的输入点集合称为计算纤维，先讨论其基本性质，再通过纤维分划的比较判断像值因子化何时存在。

下文使用 § 1.2 中的子族复合伪度量 $d_J$。条件 $d_J(x,y)=0$ 意味着 $x$ 与 $y$ 在子族 $J$ 的每一个分量伪度量下均不可区分。

定义（计算纤维）

设 $\phi \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$，$y \in \mathcal X$。给定定义域的子集 $U \subseteq \mathrm{dom}(\phi)$，并指定非空指标集子族 $J \subseteq I$。定义 $y$ 在 $\phi$ 下关于规范子族 $\mathcal{G}_J$ 在受限区域 $U$ 内的计算纤维：

即子集 $U$ 内所有在复合伪度量 $d_J$ 下被映射等价至 $y$ 的点集合。定义允许任意目标 $y\in\mathcal X$；当 $y$ 与 $\phi(U)$ 中每一点都具有正 $d_J$-距离时，相应纤维为空。取 $y\in\phi(U)$，并将相同纤维去重，便得到下述分划。当区域放宽至全域 $U = \mathrm{dom}(\phi)$ 时，省略限制尾缀记作 $\operatorname{Fib}_{\phi, J}(y)$。

单分量情形下记作 $\operatorname{Fib}_{\phi, j}(y \mid U)$。

命题 3.5（计算纤维的基本性质）：设 $U \subseteq \mathrm{dom}(\phi)$，$J,K \subseteq I$ 均非空。则：

(i) 目标零距不变性：若 $d_J(y,y')=0$，则

(ii) 纤维分划：将相同纤维去重，所得集合族

构成 $U$ 的分划。也就是说，这些纤维覆盖 $U$，并且对任意 $y_1,y_2\in\phi(U)$，对应纤维要么相等，要么不交。

(iii) 分量交集律：

(iv) 子族单调性：若 $J\subseteq K$，则

(v) 子族边界：当 $J=\{i\}$ 时，

当 $J=I$ 时，

(vi) 分量分划边界：当 $J=\{j\}$ 时，若 $j \in I_{\mathrm{id}}(\phi \mid U)$，则

若 $j \in I_{\mathrm{const}}(\phi \mid U)$，任取 $y_0\in\phi(U)$，则

并且当 $d_j(y,y_0)>0$ 时，

因此，恒等分量与常值分量分别给出上述两类极端纤维。仅凭分量分划本身，不再对有效分量 $j \in I_{\mathrm{act}}(\phi \mid U)$ 的纤维形态作进一步分类。

证明：若 $x\in\operatorname{Fib}_{\phi,J}(y\mid U)$ 且 $d_J(y,y')=0$，则对每个 $j\in J$，有

由三角不等式得 $d_j(\phi(x),y')=0$。反向由对称性同理，故 (i) 成立。

对任意 $x\in U$，取 $y=\phi(x)\in\phi(U)$，由自距为零得 $x\in\operatorname{Fib}_{\phi,J}(y\mid U)$，故这些纤维覆盖 $U$。若两个纤维有交点 $x$，则由纤维定义与对称性，对每个 $j\in J$，

于是 $d_J(y_1,y_2)=0$，由 (i) 得两个纤维相等；否则二者不交。每个以 $\phi(U)$ 中的点为目标的纤维均非空，因此去重后得到 $U$ 的分划。

(iii) 由 $d_J=\max_{j\in J}d_j$ 直接得到：$d_J(\phi(x),y)=0$ 当且仅当所有 $d_j(\phi(x),y)=0$ 同时成立。若 $J\subseteq K$，则 $K$-纤维要求更多分量同时零距，故包含于 $J$-纤维，得到 (iv)。

(v) 的单分量等式是 $J=\{i\}$ 代入定义；当 $J=I$ 时，全纤维要求所有 $d_i(\phi(x),y)$ 同时为零，故它包含于任一单分量纤维。

(vi) 的恒等分量情形由 $d_j(\phi(x),x)=0$ 与三角不等式双向传递零距离，得到

常值分量情形中，若 $y_0\in\phi(U)$，则任意 $x\in U$ 均满足 $d_j(\phi(x),y_0)=0$，故纤维为 $U$。

若 $d_j(y,y_0)>0$，则任意 $x\in U$ 都不可能同时满足

否则三角不等式给出 $d_j(y,y_0)=0$。$\square$

纤维比较与像值因子化

计算纤维记录哪些输入的输出不可区分。比较两个算子的纤维分划，还可以判断一个算子的像值能否经映射得到另一个算子的像值。这里需要区分点值相等与族零距：沿用 引理 1.1 的关系 $\sim_{\mathcal G}$，对 $U\subseteq\operatorname{dom}(\phi)$ 记

第二类点对集正是计算纤维的关系表达：对 $x,y\in U$，

命题 3.6（像值因子化与标量 Lip 界）：设 $\phi_A,\phi_B\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$U\subseteq\operatorname{dom}(\phi_A,\phi_B)$。考虑满足 $T\circ\phi_A=\phi_B$（在 $U$ 上）的映射 $T:\phi_A(U)\to\mathcal X$。

(i) 这样的 $T$ 存在，当且仅当

(ii) 两个方向的像值变换都存在，当且仅当

(iii) 在单分量情形下，若 $T$ 存在，且存在有限标量 $K_A>0$、$L_B\geq0$，使 $\phi_A$ 在 $U$ 上为 $K_A$-co-Lip、$\phi_B$ 在 $U$ 上为 $L_B$-Lip，则 $T$ 在 $\phi_A(U)$ 上为 $(L_B/K_A)$-Lip。

证明：若 $T$ 存在，则 $\phi_A(x)=\phi_A(y)$ 蕴含

得到 (i) 的必要性。反之，按 $T(\phi_A(x))=\phi_B(x)$ 赋值。若同一像点有两个代表元，所给包含关系保证赋值相同，故 $T$ 良定义。对两个方向分别应用 (i)，即得 (ii)。

对 (iii)，任取 $y,y'\in\phi_A(U)$，选取代表元 $x,x'\in U$，使 $y=\phi_A(x)$、$y'=\phi_A(x')$。由 co-Lip 下界和 $K_A>0$，

再用 $\phi_B$ 的 Lip 上界，得到

因此所需标量 Lip 界成立。$\square$

命题 3.7（零距商上的像值因子化）：设 $\phi_A,\phi_B\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，并任取 $U\subseteq\mathrm{dom}(\phi_A,\phi_B)$。沿用上述族零距关系 $\sim_{\mathcal G}$。

存在满足规定赋值公式

的商映射，当且仅当

按上述赋值公式诱导的双向商变换存在，当且仅当

若规范族分别在两个像集 $\phi_A(U)$ 与 $\phi_B(U)$ 上分离，即在各自像集内，全分量零距都蕴含点相等，则

在此前提下，单向点值变换判据与单向商值变换判据等价，双向点值变换判据与双向商值变换判据也等价。

证明：由 引理 1.1，族零距关系限制到两个像集后仍为等价关系，故商集有定义。

若点对集包含成立，则 $\phi_A(x)\sim_{\mathcal G}\phi_A(y)$ 蕴含 $\phi_B(x)\sim_{\mathcal G}\phi_B(y)$。因此按所列公式赋值不依赖代表元，得到商映射。

反之，若存在满足该公式的商映射，则对任何 $\phi_A(x)\sim_{\mathcal G}\phi_A(y)$，有

于是 $\phi_B(x)\sim_{\mathcal G}\phi_B(y)$，给出所需包含。对两个方向分别应用这一等价条件，即得双向判据。

对 $\phi_A$ 与 $\phi_B$ 分别考察点对集。点值相等由自距为零推出全分量零测距，故 $\mathcal R_{=}\subseteq\mathcal R_{\sim}$。反向包含分别使用规范族在相应像集上的分离性。因此两个像集都分离时，两侧各自的 $\mathcal R_{=}$ 与 $\mathcal R_{\sim}$ 相等；把这两个等式代入单向包含判据与双向等式判据，即得两类判据的一致性。$\square$

定义（零测距纤维预序 $\succeq_{\mathrm{fiber},U}$）：设 $\phi_A,\phi_B\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$U\subseteq\operatorname{dom}(\phi_A,\phi_B)$。若

则记 $\phi_A\succeq_{\mathrm{fiber},U}\phi_B$，称 $\phi_A$ 在 $U$ 上的零测距纤维不低于 $\phi_B$。这表示 $\phi_A$ 的零测距纤维分划细于或等于 $\phi_B$ 的相应分划；由 命题 3.7，也等价于存在按对应输入诱导的商映射。当 $U$ 固定时，简写为 $\phi_A\succeq_{\mathrm{fiber}}\phi_B$。

注（纤维包含的传递）：上述关系具有自反性与传递性，因而是预序。若 $\phi_0,\ldots,\phi_m$ 具有公共评估域 $U$，且 $\phi_{r-1}\succeq_{\mathrm{fiber},U}\phi_r$ 对每一步成立，则对任意 $0\leq a<b\leq m$ 都有 $\phi_a\succeq_{\mathrm{fiber},U}\phi_b$。若整条链中某一步零测距点对集的包含为真包含，则 $\mathcal R_{\sim}(\phi_0\mid U)\subsetneq\mathcal R_{\sim}(\phi_m\mid U)$。

证明：自反性与传递性分别来自集合包含的自反性与传递性。记 $R_k=\mathcal R_{\sim}(\phi_k\mid U)$（$0\leq k\leq m$）。对任意 $0\leq a<b\leq m$，逐步包含给出

$$R_a\subseteq R_{a+1}\subseteq\cdots\subseteq R_b,$$

即 $\phi_a\succeq_{\mathrm{fiber},U}\phi_b$。若某个 $1\leq r\leq m$ 满足 $R_{r-1}\subsetneq R_r$，则可取

$$(x,y)\in R_r\setminus R_{r-1}\subseteq R_m\setminus R_0,$$

其中差集包含由 $R_0\subseteq R_{r-1}$ 与 $R_r\subseteq R_m$ 得到。结合 $R_0\subseteq R_m$，即得 $R_0\subsetneq R_m$。$\square$

3.3 零化半径与零化矩阵

纤维比较描述不同算子所给分划的粗细。下面进一步考察单个计算纤维在基点附近的距离范围，为此引入零化内切半径与零化矩阵。

定义（零化内切半径）

设 $\phi \in \mathcal{X}_{\mathrm{op}}$。选取非空子集 $U \subseteq \mathrm{dom}(\phi)$ 作为评估域，并取基点 $y \in U$。给定 $\mathcal{X}$ 上的扩展伪度量 $d_{\mathrm{in}},d_{\mathrm{out}}$，记

在 $U$ 上，关于输入伪度量 $d_{\mathrm{in}}$ 与输出伪度量 $d_{\mathrm{out}}$ 定义算子在该点的零化内切半径：

记号中的直立上标 $\mathrm N$ 是零化标签，不表示幂。其中 $r \in (0, +\infty)$，约定 $\sup \emptyset = 0$：若不存在任何有限正半径使开球包含于输出零测距集合，则零化半径为零。$r^{\mathrm N}$ 本身可取值 $+\infty$（当任意大的有限半径开球均满足包含条件时）。

当输出伪度量取子族复合伪度量 $d_{\mathrm{out}}=d_J$ 时，右侧输出零测距集合就是计算纤维 $\operatorname{Fib}_{\phi,J}(\phi(y)\mid U)$。因此对非空 $J\subseteq I$ 约定简写：

对于单输出分量 $J=\{j\}$，进一步简记为 $r^{\mathrm N}_{\phi,i,j}(y\mid U)=r^{\mathrm N}_{\phi,d_i,d_j}(y\mid U)$。

当 $U=\mathrm{dom}(\phi)$ 时，简记为 $r^{\mathrm N}_{\phi,d_{\mathrm{in}},d_{\mathrm{out}}}(y)$。分量情形下，严格小于该半径的输入距离所满足的零距判据见 命题 3.11；距离恰等于该半径时，定义不作保证。

为获得对一组基点统一适用的零化尺度，下面固定评估域，对这些基点的零化内切半径取下确界。

定义（统一零化半径）

设 $\phi\in\mathcal X_{\mathrm{op}}$，$\emptyset\neq A\subseteq U\subseteq\operatorname{dom}(\phi)$，并给定输入、输出扩展伪度量 $d_{\mathrm{in}},d_{\mathrm{out}}$。定义基点集合 $A$ 关于评估域 $U$ 的统一零化半径为

这里，$U$ 限定开球的评估范围 $B_{d_{\mathrm{in}}}(y,r)\cap U$，$A$ 指定取下确界的基点集合。当 $A=U$ 时，简记为

输入、输出指标沿用点态半径的简写规则。当 $A=U=\operatorname{dom}(\phi)$ 时，进一步简记为 $\underline{r}^{\mathrm N}_{\phi,d_{\mathrm{in}},d_{\mathrm{out}}}$。

反例 3.1（处处正的零化半径未必有正的统一下界）：取 $\mathcal X=\mathbb R\sqcup\{\bot\}$，仅设一个距离分量 $d_1=d$：实数部分使用通常距离，$\bot$ 与实数点的距离为 $+\infty$，且 $d(\bot,\bot)=0$。定义

则对每个 $y\in U$，

证明：当 $0<r\leq|y|$ 时，$B_d(y,r)\cap U$ 中的点均与 $y$ 同号，故输出相同。当 $r>|y|$ 时，可在 $U$ 中取一个与 $y$ 异号、充分接近零的点 $x$，使 $d(x,y)<r$，而 $d(f(x),f(y))=1$。因此合法半径恰为 $(0,|y|]$，零化半径为 $|y|$。由于 $U$ 内的点可任意接近零，对基点取下确界即得统一半径为 $0$。$\square$