总结

本卷从一组分辨对象的方式出发，建立了规范空间、算子及其复合的基本语言。在不预设坐标或线性结构的情形下，我们仍可比较对象之间的差异，研究变换怎样改变这些差异，并在给定精度下衡量集合的分辨量。同一套规范也使算子本身成为可以比较的对象，为后续讨论目标与代理之间的接近程度提供了基础。

对算子的分析始终相对于所选规范和输入区域展开。距离上界、下界与局部零化分别描述差异的变化范围及其消失的条件，纤维与覆盖数则从不可区分性和有限精度的角度补充这一描述。这些工具共同表明，同一个算子在不同区域、不同分量上的作用可以很不均匀。将分析限制到实际关心的区域，使这种差异能够得到更具体的刻画。

从单步作用走向复合，分解的意义在于把整体行为落实到各步实际作用的区域。算子链记录顺序复合，有限算子网络进一步容纳随输入而变化的求值路径；沿实际中间域和路径域，可以逐步使用局部估计，并在相应条件下汇总为整体结论。网络同时保留了实现过程，使我们能够区分一个算子的输入输出行为与实现这种行为的具体结构。因此，研究网络既包括分析其作用，也包括在保持外延的条件下比较和调整其表示。

专题附录进一步说明，加入分离性或有限维实坐标结构以后，抽象概念怎样获得点值与几何解释，以及线性代数和微分方法怎样在相应条件下用于计算。这些特化使一般框架与熟悉的空间模型相联系，也保留了对实际输入域的关注。

在这些基础上，后续讨论将转向代理的构造与检验。第二卷将加入允许结构、成本和误差要求，研究怎样构造与更新代理，并利用上述分解追踪局部误差对整体拟合的影响。第三卷则进一步研究有限观测能够支持怎样的误差保证，以及哪些目标性质能够由观测确认。本卷建立的空间、距离与分解方法，将由此用于讨论给定结构和可用信息下能够达到的拟合程度。