附录 A：概率、Fourier 变换与单位

本附录给出噪声合成、加权平均和卷积成像所需的数学工具，说明正文公式的假设与推导。

A.1 期望、方差与协方差

离散随机变量 $X$ 的期望与方差为

\mathbb E[X]=\sum_x x\,\Pr(X=x), \qquad \operatorname{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mathbb E[X])^2].

展开平方得到

\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[X^2]-(\mathbb E[X])^2. \tag{A.1}

协方差定义为

\operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb E[(X-\mathbb E[X])(Y-\mathbb E[Y])].

命题 A.1. 对具有有限二阶矩的随机变量和常数 $a,b$ ，

\operatorname{Var}(aX+bY) =a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y) +2ab\operatorname{Cov}(X,Y). \tag{A.2}

证明. 从 $aX+bY$ 中减去其期望，展开平方并逐项取期望，即得。若 $X,Y$ 独立，则 $\mathbb E[XY]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y]$ ，协方差为零。 $\square$

对 $n\ge2$ 个方差同为 $\sigma^2>0$ 、两两相关系数同为 $\rho$ 的变量，平均值方差

\operatorname{Var}(\bar X) =\frac{\sigma^2}{n}[1+(n-1)\rho]

由式 (A.2) 对所有方差与协方差求和得到。相关系数须满足 $-1/(n-1)\le\rho\le1$ ：下界来自平均值方差非负，上界来自 $\operatorname{Var}(X_i-X_j)=2\sigma^2(1-\rho)\ge0$ 。因此，固定的负相关系数不能在任意大的 $n$ 下继续沿用。 $n=1$ 时直接使用该变量的方差。

A.2 Poisson 分布

若 $N\sim\operatorname{Poisson}(\mu)$ ，

\Pr(N=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots.

其概率生成函数

G_N(z)=\mathbb E[z^N]=e^{\mu(z-1)}.

于是 $G_N'(1)=\mu$ ，且 $G_N''(1)=\mathbb E[N(N-1)]=\mu^2$ ，由式 (A.1)

\operatorname{Var}(N) =\mathbb E[N(N-1)]+\mathbb E[N]-(\mathbb E[N])^2 =\mu.

独立 Poisson 变量之和仍为 Poisson：生成函数相乘 $e^{\mu_1(z-1)}e^{\mu_2(z-1)}=e^{(\mu_1+\mu_2)(z-1)}$ 。

A.3 加权平均

设 $n\ge1$ 个独立观测均满足 $\mathbb E[X_i]=\mu$ ，且已知有限方差 $0<\sigma_i^2<\infty$ 。取固定权重，令 $\widehat\mu=\sum_i w_i X_i$ 且 $\sum_i w_i=1$ 。其方差为 $\sum_i w_i^2\sigma_i^2$ 。用 Lagrange 乘子最小化：

2 w_i\sigma_i^2-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad w_i=\frac{\sigma_i^{-2}}{\sum_j \sigma_j^{-2}}. \tag{A.3}

这些权重记为 $w_i^*$ 。任何其他和为一的权重，其方差与最优方差之差为 $\sum_i\sigma_i^2(w_i-w_i^*)^2\ge0$ ：展开平方后，交叉项由 $\sigma_i^2w_i^*=(\sum_j\sigma_j^{-2})^{-1}$ 和 $\sum_i(w_i-w_i^*)=0$ 消去。这证明了全局最小性，最小方差为 $(\sum_i\sigma_i^{-2})^{-1}$ 。若某观测方差为零，它已几乎必然等于 $\mu$ ，可直接使用该观测；不应把零方差代入倒数公式。

这是假设无偏、独立和方差已知时的最优线性权重。HDR 中的饱和、运动和配准误差会破坏这些假设，所以还需可靠性权重。

A.4 卷积与 Fourier 变换

二维卷积定义为

(f*g)(\boldsymbol r) =\int_{\mathbb R^2}f(\boldsymbol s) g(\boldsymbol r-\boldsymbol s)\,d^2\boldsymbol s.

按本书 Fourier 约定，

\widehat f(\boldsymbol\nu) =\int f(\boldsymbol r)e^{-2\pi i\boldsymbol\nu\cdot\boldsymbol r} \,d^2\boldsymbol r.

命题 A.2（卷积定理）. 若积分绝对可积并允许使用 Fubini 定理，则

\widehat{f*g}=\widehat f\,\widehat g.

证明. 代入定义并令 $\boldsymbol u=\boldsymbol r-\boldsymbol s$ ：

\begin{aligned} \widehat{f*g}(\boldsymbol\nu) &=\iint f(\boldsymbol s)g(\boldsymbol r-\boldsymbol s) e^{-2\pi i\boldsymbol\nu\cdot\boldsymbol r} \,d^2\boldsymbol s\,d^2\boldsymbol r\\ &=\int f(\boldsymbol s)e^{-2\pi i\boldsymbol\nu\cdot\boldsymbol s} \,d^2\boldsymbol s \int g(\boldsymbol u)e^{-2\pi i\boldsymbol\nu\cdot\boldsymbol u} \,d^2\boldsymbol u. \end{aligned}

右端就是 $\widehat f\widehat g$ 。 $\square$

平方可积函数的能量与内积

本书另引用 Plancherel 定理作为 Fourier 分析的外部数学输入：按上面的负号与 $2\pi$ 约定，Fourier 变换从可积且平方可积函数延拓到 $L^2(\mathbb R^2)$ ，并保持内积：

\int \widehat f(\boldsymbol\nu)\widehat g^{\,*}(\boldsymbol\nu)\,d^2\boldsymbol\nu =\int f(\boldsymbol r)g^*(\boldsymbol r)\,d^2\boldsymbol r.

取 $g=f$ 就得到能量恒等式 $\int|\widehat f|^2=\int|f|^2$ ；两侧内积均由 Cauchy–Schwarz 不等式保证绝对可积。对有限面积、平方可积的瞳， $\int|P|\le\sqrt{\text{瞳面积}}\sqrt{\int|P|^2}<\infty$ ，所以积分定义与 $L^2$ 延拓一致。第十二章据此推导归一化 PSF 与 OTF 自相关。定理的证明和 Fourier 归一化换算见资料源中的数学讲义。

宽度 $p$ 、高度 $1/p$ 的归一化矩形 $a(x)=p^{-1}\mathbf1_{[-p/2,p/2]}(x)$ 的 Fourier 变换为

\widehat a(\nu) =\frac{ \sin(\pi p\nu)}{\pi p\nu},

这是矩形孔径的有符号 OTF；MTF 为其绝对值。第一零点之前，两者数值相同；负的 OTF 表示相应正弦分量反相，不能把负值作为 MTF。

A.5 单位检查

方差传播既可按输出协方差计算，也可追溯到独立输入源。第七章的同色插值实验给出四点平均的两条计算路径；第四章的校准漂移实验则保留跨整套重复与固定主暗场条件分布的区别。第八章还比较已知方差固定权重和观测依赖权重，后者不能仅凭权重和为一就继承前者的无偏结论。

单位换算可在附录B实际代入；第十二章的三谱线实验始终使用同一个μm像面坐标，避免把各波长按自己的Airy尺度缩放后直接叠图。

量纲检查不能证明公式正确，但能排除许多错误：

$hc/\lambda$ 的单位为 J；
$H_e A_p/(hc/\lambda)$ 无量纲，对应光子计数；
$1/(\lambda N)$ 的单位为 m $^{-1}$ ，对应空间频率；
$Q_\mathrm{FW}/\sigma_r$ 是电子数之比，可取对数；
$f/D$ 无量纲；
MTF 是调制度之比，无量纲。

若对带单位量直接取对数，必须先除以同单位参考量。摄影“档数”总是比例的 $\log_2$ ，不是对某个孤立曝光量取对数。