第十六章：镜头结构、对焦、变焦、防抖与远心性

转动变焦环时，镜头内部常有几个组同时移动：一部分改变总焦距，另一部分把清晰 像面维持在传感器附近。对焦和防抖也通过组运动改变光路，因此同一支镜头在不同 距离、焦段与光圈下会有不同表现。在前几章的材料和像差分析基础上，本章讨论镜组 运动对焦距、对焦尺度、景深和像面位移的影响。

依次固定像面、远景方向和模糊判据

先在§16.1辨认典型结构中的正负光焦度，再按下面的顺序比较镜组运动。

1. 在浮动对焦中改变近处物点距离，同时固定一个远景方向；分别观察物点是否合焦， 以及该远景方向的像高是否改变。前者测对焦，后者测这里约定的呼吸，两项不能互代。
2. 在变焦中保持传感器位置，先关闭补偿，再恢复求解；比较第二组移动后， 原定像面上的光束是否仍汇聚。补偿解不存在时应停止，而不是让镜组穿过机械边界。
3. 在景深中保持镜头和物距，只改变容许弥散圈；几何光束不变，判为“可接受”的 距离区间会变。再用三维光锥检查焦前、焦后截面的大小。
4. 在防抖中先看未补偿位移，再单独启用镜组或传感器补偿，最后尝试两路重复补偿。 一帧中某一时刻对齐，不保证整个曝光的残余RMS最小，延迟也不能靠加大幅度消除。 随后看数字补偿，分清曝光内稳像、帧间重定位与裁切余量。
5. 在远心光路中改变物面或像面位置，分开读主光线倾角与横向尺度。轴上主光线 倾角为零不足以把任意系统命名为远心，还需检查离轴物点和瞳共轭。

这些演示分别采用一阶几何、曝光内积分或容许模糊判据。浮动组 在真实镜头中怎样校正近摄像差，仍需处方追迹或明确的波前模型，不能从双约束求解 出的两条镜组轨迹直接推出。

16.1 几种典型光焦度分配

镜头剖面图中的“几片几组”，先区分了玻璃与空气间隔：一组可以只有一片，也可以 由多片胶合组成。计算一阶共轭时，还能把厚镜组换成一个等效薄组；这个等效组数 又不等于商品规格中的分组数。理解结构名称时，先找光阑，再看它两侧如何分配 正负光焦度。

三片式与Tessar的区别不只是多一片玻璃。胶合界面提供新的折射率组合和曲率， 可在总焦距不变时重新分配色差与场曲。双高斯的两侧近对称也不是外观装饰： 在对称结构、匹配的共轭及光阑条件下，部分离轴像差可以相互平衡；常见摄影镜头 面对无穷远与近摄等不同共轭，还会打破严格对称以改善具体工作点。 Nikon的三片式/Tessar说明 与六片四组双高斯实例 给出了这些结构的实际剖面。Sonnar与双高斯的取舍可对照其 相关设计记录。

现代定焦常同时使用非球面、低色散材料、浮动对焦和数字校正；变焦镜头则有更多 移动组。名称帮助识别设计思路，具体像质仍由完整处方、光阑、物距与焦位决定。

先比较“望远型 · 课本例子”与“反望远型”，分别从主平面和后组量焦距、后焦距。 再回望远型，仅改变组间距，观察像面和主平面的位置。 下面的实际镜片剖面会补上玻璃界面，此处的两薄组先解释正负光焦度的长度效应。

这里复用第十一章的两薄组近轴实验。望远型预设取前组 $+10$ D、后组 $-10$ D、 间距 50 mm；反望远型取前组 $-10$ D、后组 $+15$ D、间距 50 mm，分别对照 有效焦距 200 mm、后焦距 100 mm 与有效焦距 80 mm、后焦距 120 mm。五条光线 在同一物点或同一平行光束中追迹，像面上的高度跨度给出几何离焦量；衍射斑和 空间频率响应另见第十二章。下面的实际镜片剖面补充显示这些光焦度布局的具体结构。

图 16.2　曲面、厚度和材料取自六份公开专利的数值例，各例等比例缩放至计算 焦距50 mm。G编号按空气间隔分组，同色区域内的曲线为胶合界面；蓝线为同一 单色光束。各格局部放大，横纵等比例，尺标独立；净口径和光阑位置见下方处方。 比较的轴向长度从第一面顶点量到近轴像面。

三片式：让负片夹在两片正片之间

图中的三片式取自Taylor的三片数值例。G1先会聚，G2使光束重新张开，G3再将 光束收向像面。负片与两边的空气间隔共同提供校正自由度，并非只把前片的作用 抵消。放到同一50 mm焦距比例后，三组的光焦度约为+82.19、−90.37、+18.87 D； 它们相加约为10.69 D，完整系统却为20 D。组间传播已经改变了光线高度，因此 总光焦度要按顺序追迹或连乘矩阵，不能只相加。

三个分离单片结构简单，但每次改曲率通常会同时牵动球差、色差和离轴像差。 口径与视场扩大后，有限的片数会限制可同时调整的条件。

Tessar：后胶合组内部仍在折射

Tessar例中的L1、L2分离，L3与L4胶合，共四片三组。后组内部的弯曲界面把 两种材料连在一起，它也有光焦度。设光从左向右，曲率中心在右时 $R>0$。 把表面两侧的折射率记为 $n_L,n_R>0$，光线高度为 $y$，两侧倾角为 $\theta_L,\theta_R$，用rad计。近轴时表面法线角约为 $-y/R$；线性化Snell关系给出

$R,y$ 用mm时，$\Phi_s$ 用mm$^{-1}$。原表按标称100 mm比例取 $n_L=1.52110,n_R=1.61132,R=25.2$ mm，因而

这个胶合面的光焦度为正。若两侧折射率相同，该界面便不再参与单色折射。由此看三片式与 Tessar的差别，应该找后组里的材料与界面，而不只数多了一片玻璃。

双高斯：围绕光阑的两对弯月组

本例采用Baker的六片四组处方：G1与G4是外侧正片，G2与G3各为胶合双片， 总体为负，凹面相向，光阑位于中央空气间隔。先沿图中的光束看这四组如何先后 改变会聚，再比较两侧的形状，较容易认出双高斯的骨架。

相应共轭与光阑条件下的对称性有助于平衡部分离轴像差；常见摄影的物、像距离 并不对称，实际设计也会调整前后曲率、玻璃和厚度。本例虽接近对称，两侧数值 仍不同。球差和轴向色差也需要材料与表面配合，不能靠对称外形直接判定。

Sonnar：中间的三片胶合组

这里选Bertele的六片三组版本：G1为单片，G2含三片胶合玻璃，G3为胶合双片。 它仍有正—负—正的总体安排，中间负组的两个内部界面却能分别选择曲率和材料。 与六片四组双高斯相比，本例的空气—玻璃界面从八个减至六个，胶合界面从两个 增至三个。

空气分组减少会改变反射路径和装配方式，胶合则把一部分校正自由度放入材料 界面。最终眩光与透射还受镀膜、口径和遮光影响；第十五章的杂散光分析仍要 沿完整路径进行。

反望远：后方会聚部分也可以含负片

Angénieux例中，前负弯月片G1先把平行光束张开，随后经过较长空气间隔，进入 G2—G5组成的净会聚部分。G4本身仍为负片：说“前负后正”时，后正指的是后方 整套系统。较大的前部光束与较长的间隔也能解释这类结构为何需要通光空间。

本例缩放后，焦距50 mm、后焦距约52.52 mm，首面到像面约135.83 mm。 后焦空间来自整体布局和主平面位置，代价包含较大的轴向尺度，以及大视场下 畸变、像差和截光的校正负担。反望远描述结构；具体是否属于广角，还取决于 配套画幅和视场。

望远型：末片为正，后系统仍可为负

Merté例中，前单片为正；中间三片胶合组与最后一片合起来构成负后系统。 最后这片L5单独为正，不能只看它的形状判断望远作用。互动会同时列出G3单片 与后四片的合成光焦度。

这份早期处方在50 mm比例下，首面到像面约49.24 mm，缩短幅度较小。前面 两薄组的例子则给出200 mm焦距、150 mm首面到像面的距离，望远比为0.75。 两例可以一起说明：望远布局的缩短程度要实际计算，不能从结构名称读出。

起始是双高斯剖面。 先选Tessar的G3，再选Sonnar的G2，对照高亮玻璃、组表和界面编号； 比较结构时保持1.5 mm入射束。 随后只加宽光束，看偏移图如何偏离近轴参考； 纵轴倍率只放大误差图，不改变光线。

Tessar的G3由两片玻璃组成，S6是中间胶合面；Sonnar的G2则包含三片玻璃。 反望远的G4和望远型的G3还说明，单片的正负不等于整个功能部分的正负。把入射束半宽从1.5 mm增至3 mm，可以比较有限光束与近轴参考的差异； 改变偏移图纵轴只改变显示范围，截光后的光线不会继续画到像面。

剖面实验保持公开处方的曲率与组距。下面换回可调的教学薄组，单独观察改变 间距后总焦距、后焦距和主平面怎样变化；每组的输入数值在面板中列出。

先在“反望远式”和“望远式”间比较后焦距与有效焦距，再回“双高斯式”，只调组间距倍率。 光焦度列表、主平面和像面会一起变化； 薄组图用于判断一阶布局，不能由这里几条合焦光线判断真实结构的全视场像质。

切换到“反望远式”和“望远式”，可复核前面两组模型的80/120 mm与200/100 mm 焦距、后焦距。再返回“双高斯式”，改变组间距，观察总焦距与主平面一起变化。 当前薄组没有表面曲率、材料色散或高阶波像差，因此这一步解释共轭和长度， 后续像差比较仍回到第十三章的波前或实际处方。

在较大的组间距下，原本会聚的布局也可能给出负后焦距。例如双高斯教学薄组的 间距倍率改为1.5，BFD约为−16.46 mm；此时出射束发散，虚像参考面只由出射线 反向延长求得。图中的紫色虚线表示这些延长线，不能把虚像面当作可接收合焦像的 实际传感器位置。

16.2 对焦、浮动组与 breathing

整组伸长对焦遵循式 (11.5)，结构简单但长焦或微距所需移动量大。内对焦移动内部 镜组，可减小需移动的质量；组间距变化也会改变总系统矩阵，因而有效焦距、像差和 入瞳位置可能随对焦距离变化。

浮动镜组让两个或更多组按不同规律移动，以补偿近距离球差、场曲和像散。镜头近摄 MTF 不能由无穷远 MTF 图推出；厂商图若只标 infinity，必须另测目标工作距离。

对焦呼吸（focus breathing）是对焦时视角/放大率变化。若机位和被观察物体不动， 物体到机身的位置固定，但从移动的主平面量起的物距仍可能变化。像高比例取决于 有效焦距、主平面与像面位置；内对焦改变这些量，就可能出现明显 breathing。 电影镜头常通过组间补偿降低它，但不能从“内对焦”名称判断大小。

例子 16.1（固定焦距下的对焦尺度变化）. 取焦距固定为 50 mm 的薄透镜，光阑 在透镜平面，传感器宽 36 mm。无穷远合焦时像距为 50 mm；对焦到物距 2 m 时， 由第十一章算得像距为 51.282 mm。连接像面边界与透镜中心的光线给出角覆盖

同一远处方向的主光线像高按像距变化，比例约为 $51.282/50=1.0256$；近对焦时 远景虽然离焦，其点像中心的角尺度仍会改变。这个薄透镜模型通过改变镜头与像面的 间距对焦，说明呼吸也可发生在有效焦距不变时。真实内对焦系统还会改变焦距、瞳和 主平面，应测量实际画面，而非仅把新焦距代入无穷远视角公式。

还可以让第二个移动组承担另一个约束。取与后面变焦例相同的三个薄组，光焦度为 $+10,-20,+20$ D，前组和光阑固定在零，像面固定在 200 mm。组 2、3 分别位于 $v,c$。本段只计算一阶成像：真实浮动组常用第二自由度校正像差，而这里用它保持 固定远景的角尺度，便于直接比较对焦呼吸。两种目的不能由同一张近轴光线图互相替代。

令从前组之前传播到固定像面的矩阵为 $M_S=\left(\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}\right)$。 轴上物点距离前组 $s$，通过前组高度 $h$ 的光线入射倾角为 $h/s$，因此像面高度为 $h(A+B/s)$；合焦条件是 $A+B/s=0$。远景中倾角为 $\theta$、经过光阑中心的 主光线则取输入 $(0,\theta)$，点像中心高度为 $B\theta$。所以两组协同可解

这里 $s=\infty$ 时把 $1/s$ 取为零。$K$ 是像高对入射方向的比例，并不等于所有 有限对焦状态下的有效焦距。远景在近对焦时会离焦，比较的是其点像中心尺度。

求解还可不用逐面光线。记各组光焦度为 $p_i$，单位 mm$^{-1}$；去掉前组后的 矩阵左上元为 $a_u=A+p_1B=K(p_1-1/s)$，令 $q=1-p_3(200-c)$。 把后两组之间的直线传播与两次折转展开，得到

第一式使 $c=200+(q-1)/p_3$ 成为 $v$ 的一次式，代入第二式便是关于 $v$ 的 二次方程；无穷远参考状态退化为一次式，解为 $v=50,c=150$ mm。互动中的主求解 直接使用两条逐面光线的像面高度，消元方程只作独立真值对照。

保持1 m物距，先比较“仅后组对焦”与“两组协同”，确认二者都合焦，再读固定远景方向的角尺度。 随后改到0.5 m，看协同组如何继续移动； 超出行程的预设应显示无解，不会沿用上一位置的焦点。

对焦 $s=1$ m 时，仅移动后组得到 $c\approx142.116$ mm，角尺度约为 $78.835$ mm/rad；两组协同得到 $v\approx57.997,c\approx147.197$ mm，角尺度 保持 100 mm/rad，而有效焦距已约为 139.926 mm。两者都合焦，但呼吸不同。 组 2、3 的行程分别限制在 10--70 mm、90--190 mm；对焦到 0.4 m 时，给定行程 不能同时满足两个约束，演示停止自动运动并报告实际离焦，而不保留上一次合焦外观。

16.3 变焦组与补偿组

两薄透镜光焦度 $\Phi_1,\Phi_2$ 相距 $d$，空气中的合成光焦度为

将两片透镜矩阵与中间传播矩阵相乘，得到

由 $-C$ 得到式 (16.1)，而平行入射的后焦距为 $\mathrm{BFD}=(1-d\Phi_1)/\Phi$。例如前组焦距 $+100$ mm、后组 $-100$ mm、 间隔 50 mm 时，总焦距为 200 mm，后焦距为 100 mm，两组到像面的总轴向距离为 150 mm。这给出望远结构短于有效焦距的一个近轴例子。若间隔改为 40 mm，总焦距 变成 250 mm，后焦距也变成 150 mm，原来的传感器位置便不再合焦。

变焦镜头用 variator 主要改变焦距， compensator 同时移动以保持像面固定；现代多组设计由凸轮或电子控制多个轨迹。整个 变焦范围还需平衡像差、光圈、最近对焦和机械长度，因而一支恒定 $f/2.8$ 变焦比同 规格定焦复杂得多。

互动取三个薄组，光焦度依次为 $+10,-20,+20$ D。前组固定在 $z=0$，变倍组位于 $z=v$，补偿组位于 $z=c$，像面固定在 $S=200$ mm。两种移动各自可控：先锁住 第三组，只改变第二组位置；再启用自动补偿，观察第三组如何把交点带回原像面。 这些位置和光焦度构成一组近轴补偿算例；曲率、厚度与像差校正仍需进一步设计。

把光焦度换为 mm$^{-1}$，三组的系统矩阵与传播到像面的矩阵为

轴上平行入射时，初始角为零，合焦要求 $M_S$ 的左上元为零。这里使用 $A_S=0$， 因为输入是不同高度的平行光；有限物点成像才使用第十一章的 $B=0$ 条件。 也可以不用矩阵，取单位高度的入射光线，令 $a=1-\Phi_1v$、$b=-\Phi_1-\Phi_2a$、$k=a-bv$。到达补偿组时的高度为 $k+bc$， 所以像面高度为

这对 $c$ 是二次方程；$b=0$ 时退化为一次方程。互动的自动模式从逐面追迹的 $h_S$ 求根，另保留式 (16.1c) 的解析根作对照，求解范围限定在 $90\le c\le190$ mm。 例如 $v=50$ mm 时有 $c=150$ mm、有效焦距 100 mm；$v=20$ mm 时需要 $c\approx137.555$ mm，有效焦距约 41.482 mm。$v=70$ mm 时，给定行程内没有 合焦解，页面停止自动补偿，显示手动位置及其离焦结果。

先用自动补偿，比较变倍组20、50、60 mm三个位置：焦距改变，传感器位置保持。 然后再点一次“自动补偿”关闭它，再移动变倍组，看交点离开像面； 恢复自动补偿后检查光线是否重新会聚。 70 mm无解是行程限制，不是让画面继续播放就能补偿。

“恒定光圈”表示标称 f 数在变焦中保持，要求入瞳直径大致随焦距增加。若长端实际 透射下降，T-stop 仍可能变化。视频曝光稳定应看 T-stop 与控制步进，不只看 f 数。

对焦与变焦的镜组运动

三维模型沿用上面的光路求解，用两条平行导轨标示镜组的移动方向。对焦时前组和 传感器固定，两个内部组分别移动；变焦时负组改变总光焦度，后组同时调整会聚位置。

“浮动对焦”页先比较1 m下后组单动与两组协同，观察镜筒中谁在移动，再核对合焦与角尺度读数。 “变焦补偿”页则先锁住G3，再拖动G2，最后恢复补偿； 这两页分别改变物距和焦距，不能把所有镜组运动统称为变焦。

在“浮动对焦”中，用同一1 m物距比较后组单动和双组协同；在“变焦补偿”中先 锁住后组，再恢复补偿。看光束是否在固定传感器处会聚，而不是只看滑块是否 跟着动。播放按位置逐一计算，实际运动用时和马达控制还需另行给定。

16.4 景深是允许模糊标准

取空气中正薄透镜，$f>0,N>0$，物距 $s_0>f$ 从透镜平面量起，传感器位于 $v_0=fs_0/(s_0-f)$。另一物距 $s$ 的理想像距 $v=fs/(s-f)$。直径 $D=f/N$ 的光锥在传感器面的弥散圈直径近似

起始物体在1 m、对焦距离2 m、f/4，传感器截面有非零弥散圈。 先只收小光圈看截面缩小，再按“对焦到物体”看弥散圈归零； 此后改变容许直径只改变合格判据。 重置参数可回到这组起点，重置视角只恢复观看方向。

推导 16.2. 光锥从透镜口径直径 $D$ 线性收缩，在 $z=v$ 处为零。距透镜 $v_0$ 处的截面直径按相似三角形为 $D|v-v_0|/v$，即式 (16.2)。

给定容许弥散圈直径 $c_0>0$，令无穷远物体的光锥在传感器上恰好满足 $c(\infty)=c_0$。将 $v=f$ 与 $v_0=fs_0/(s_0-f)$ 代入式 (16.2)，得 $c(\infty)=f^2/[N(s_0-f)]$，因此超焦距为

再把一般物距 $s>f$ 的像距代入式 (16.2)，得到

近界满足 $s<s_0$，将 $c(s)=c_0$ 解为 $s=s_0/[1+Nc_0(s_0-f)/f^2]$；远界把加号改为减号。利用 $H-f=f^2/(Nc_0)$，得

远界公式用于 $s_0<H$；当 $s_0\ge H$，无穷远已在允许模糊范围内，远界记为无穷远。 近界公式还要求求出的物距大于 $f$；若容许模糊取到使模型越出实物实像区，应直接 回到该区间内的式 (16.2a) 判断。通常摄影用的 $c_0\ll f/N$ 满足此条件。

有些速算式先忽略超焦距中的 $+f$，再把 $f^2/(Nc_0)$ 也写成 $H$。若使用这种 约定，应全程使用同一个近似；不能把它与式 (16.3) 的 $H$ 混用。一个直接检查是令 $s_0=H$：远界应为无穷远，近界恰为 $H/2$。

例子 16.3（景深判据的数值后果）. 取 $f=35$ mm、$N=4$、 $c_0=0.020$ mm，得

对焦 $s_0=5$ m 时，式 (16.4) 给出 $s_N\approx3.78$ m、$s_F\approx7.40$ m。若把输出标准收紧为 $c_0=0.010$ mm，超焦距近似翻倍，景深范围也明显缩窄；镜头和对焦距离未变，变化 来自“可接受”的判据。

从“35 mm 例子”开始，先用“探测近界”和“探测远界”核对弥散圈恰达容许值； 再只把容许直径收紧到10 μm，看边界向对焦平面收拢。 最后分别比较对焦超焦距和对焦无穷远，两者的近界并不相同。

二维演示从孔径两侧分别追迹，按像面上的间距二分求近界、远界和超焦距，再与 解析式比较。对焦到无穷远时直接采用平行入射，传感器位于 $f$，因此近界为 $f^2/(Nc_0)=H-f$；对焦到超焦距时，近界才是 $H/2$。把两种设置都称为 “从半个超焦距到无穷远”会混淆不同的传感器位置。上面的三维光锥也可调整容许 直径，并同时给出独立边缘追迹读数。

弥散圈不是传感器固有常数。它取决于输出尺寸、观看距离、视力、去马赛克和锐化； 高分辨率像素级审查需用更严格 $c_0$。景深范围内只是“低于选定模糊阈值”，不是每个 距离都与对焦平面同样清晰。

16.5 光学防抖与机身防抖

相机小角度旋转 $\theta$ 使无穷远像点移动

保持起始角抖动，依次比较关闭补偿、仅镜组、仅传感器和两者各一半。 看残余位移曲线与当前像面位置，再选“两者都全量”检查过补偿。 延迟预设只在补偿开启后比较； 一个时刻恰好重合，不能代替整段残余轨迹。

例子 16.4（角抖动换算为像素位移）. $f=100$ mm 时发生 $0.02^\circ=3.49\times10^{-4}$ rad 的小角转动，瞬时像移约

对 $4\ \mu\mathrm m$ 像素，这相当于 8.7 pixel。若要求瞬时位移不超过一像素， 残余角误差需低于 $p/f=4.0\times10^{-5}$ rad，即约 $0.00229^\circ$。实际模糊取决 于整段曝光中的角运动轨迹，不只取峰值。

焦距越长，同一角抖动造成的像面位移越大。镜头防抖移动补偿组改变出射光线角度； 机身防抖移动/旋转传感器追随像。两者可协同分配频率和轴向。

镜组位移与像面位移通常不相等。在薄组近轴模型中，光焦度为 $\Phi$ 的镜组横移 $\delta$，折射后的光线角变为

$B_s$ 是从该组出射面到像面的后续传递矩阵右上元。互动沿用第十六章的望远型 尺度：前组 $+10$ D、后组 $-10$ D，相隔 50 mm，像面在后组之后 100 mm。此时 $f=200$ mm、$B_s\Phi=-1$。定义 $\theta$ 为相机坐标中的入射方向变化，传感器 参考中心的横移为 $y_s$，相对残余像移为

其中长度均用 mm、角度用 rad。正的后组位移在这组处方中产生负的像移；换一个 防抖组，比例与符号都要重新计算。$0.5$ mrad 的入射方向变化产生 $0.1$ mm 像移， 按 $4\ \mu$m 像素间距为 25 pixel；可由镜组横移 $0.1$ mm 或传感器横移 $0.1$ mm 分别理想抵消，也可由二者各承担一半。若两套机构都执行全量修正，就会重复补偿。

时间轨迹采用 $\theta(t)=\theta_a\sin\omega t$，两机构共用延迟 $\tau$，补偿比例 分别为 $g_o,g_i$。在这一固定处方中，设 $g=g_o+g_i$，则完整一周期内的残余位移 均值为零，均方根解析值为

互动取 10 Hz、100 ms 整周期曝光，用逐面追迹的 512 个中点样本计算 RMS，再与 式 (16.5c) 对照。当前时刻、整段轨迹和 RMS 分别显示；RMS 只概括该位移轨迹， 完整运动模糊仍由下式的时间积分决定。这一理想延迟模型不包含真实控制器的启动、 频率分配、噪声与执行器行程，不能据此推算防抖档数。

以曝光轨迹表达会更清楚：假设静止场景仅受平移像移 $\boldsymbol x(t)$，归一化 运动 OTF 为

它来自把沿轨迹平移的点像按时间平均后取 Fourier 变换。若一维匀速移动，总位移 为 $b$，积分得到幅值 $|\sin(\pi\nu b)/(\pi\nu b)|$。始终保持同一个偏移只改变 位置，相位变了而 MTF 不变；曝光中来回移动才会形成模糊。因此防抖需控制曝光期间 的残余轨迹，不能仅用某一时刻的位移判断。

相同RMS的轨迹，模糊是否相同

均方根位移只保留轨迹的二阶信息，式 (16.6) 却读取整段曝光中各位置的停留时间。 取去均值后RMS同为 $\sigma$ 的两条水平轨迹：一条在 $[-\sqrt3\sigma,+\sqrt3\sigma]$ 上匀速通过，另一条各用半段曝光停在 $\pm\sigma$， 中间转换时间取零的极限。逐段积分得到

两条曲线的零点不同。例如 $\sigma=2$ px、$\nu=0.125$ cycles/pixel，双位置停留的 OTF为零，匀速轨迹仍约为0.150；同一RMS不足以决定纹理保留程度。

先比较两个“同样RMS”预设，RMS都为2 px，只有曝光内的停留分布改变。 看运动核、条纹与OTF零点，再只增加平均位置偏移，区分OTF相位变化与MTF模长变化。 播放未结束时图像尚未完成积分，频率曲线仍对应完整曝光。

先播放一条曝光轨迹，看累积图像怎样形成；再切换保持同一RMS的预设。增加固定 偏移会改变OTF相位和图像位置，模值仍相同。正弦轨迹在端点附近停留较久，也会 形成不同于匀速盒核的PSF。回放中尚未曝光的部分不补亮，完成后各运动核的权重和 均为一；频率曲线始终对应完整曝光，以便暂停时比较。

防抖不能冻结主体运动，也不能完全补偿平移视差、滚动快门和快门冲击。近摄中相机 平移与角抖动都重要，式 (16.5) 的无穷远模型不足。防抖宣称“若干档”是指定成功率 和测试条件下可用快门的统计改善，不是每张照片的保证。

数字防抖补偿的是帧间位置

电子防抖可以从陀螺仪、图像配准或二者融合得到运动估计，再将每帧重映射到较稳定 的输出坐标。平移与旋转可用二维变换描述；滚动快门有时需逐行变换，较强视差则 需要更局部的模型。它们都要保留足够的画幅余量，或缩小共同视角。

帧间重定位和曝光内稳像是两件事。若曝光期间点像已经沿一段轨迹积分，事后将整帧 平移只改变它的位置，轨迹的平均仍在。前面的运动OTF推导已经说明这一点； 光学/传感器稳像可在曝光期间改变残余轨迹，数字几何变换则通常处理已经记录的帧。 结合短曝光、较快读出和较准确的运动估计，才可能同时减少不同来源的模糊与变形。

数字呼吸补偿与视角固定

物理呼吸使固定远景在不同焦位下的像高尺度改变。数字补偿可按镜头标定或元数据 缩放、裁切每帧，使输出保持接近同一个视角。它不改变光学焦距，也不会重新分配 已捕获的光子。若焦位变化还带来瞳位置、视差、局部畸变或离焦形态变化，仅用一个 缩放因子不能把所有深度处的图像同时恢复成原样。 Sony的呼吸补偿说明 明确采用电子裁切；其后期补偿说明 也分别列出校正元数据、裁切限制和稳像共同使用时的条件。

把这两种补偿放入一个可计算的平面场景。所有坐标以像素节距计，原帧中心为原点。 真实尺度为 $a_t>0$、水平位移为 $d_t$，场景基准坐标为 $(X,Y)$。原始位置满足

希望输出坐标 $(u,v)$ 始终显示 $X=u/K,Y=v/K$，其中固定 $K>0$ 决定共同裁切。 给定正的尺度估计 $\widehat a_t>0$ 与位移估计 $\widehat d_t$ 后，补偿器应从原帧读取

代入式 (16.5d) 可验证：估计准确、曝光内静止且连续取样时，输出确实对应固定 场景坐标。实际离散像素还会带来插值误差。若只在 $W\times H$ 个原像素中心的 凸包内做双线性取样，完整画幅需要

这是将输出左右端点代入式 (16.5e) 得到的；垂直方向在当前无竖直平移的模型中 只要求第一项。平移和呼吸在这里共同消耗裁切余量，不能各算完之后仍假定原画幅 完整可用。

先用“纯平移 · 理想估计”播放，再选“呼吸 · 固定输出视角”，分别看位置和尺度怎样被补偿。 回到纯平移后，选“补偿后仍有曝光拖影”，只增加曝光内模糊，检查条纹是否能恢复； 最后再看裁切不足的缺失区域。

先用“纯平移”和“呼吸”预设播放，观察补偿后的图案是否稳定。再加入10 px曝光内 匀速像移：即使位移估计准确，传感器上0.10 cycles/pixel的条纹也达到盒积分的 零响应，几何重定位无法让它重新出现。最后选择“裁切余量不足”或加入估计偏差， 分别观察缺失区域与残余错位。无模糊真值只用于评价，补偿器读取的仍是原始离散帧。

16.6 远心性、主光线角与传感器

像方远心系统的出瞳位于无穷远，主光线近似垂直入射像面，放大率对像面小位移不敏感。

物方远心则要求入瞳位于无穷远，使物方主光线平行于光轴。在薄组示例中，把光阑放在 前组的后焦平面，可得到物方远心；放在后组的前焦平面，可得到像方远心；两焦平面 重合时可同时满足。远心性由光阑与前后光学组共同决定，不能只看一条轴上光线。

互动取 $f_1=50$ mm、$f_2=75$ mm，前组位于零、后组位于 $g$，中间光阑位于 $z_a$。把光阑分别经前后组作薄透镜成像，入瞳与出瞳的轴向坐标为

对应分母为零时，该瞳位于无穷远。物点在前组左侧 $s>0$、高度为 $y_o$；要求 主光线经过光阑中心，就有

光阑在 $z_a=f_1$ 时，物方主光线角为零。设前后组之间的主光线倾角为 $\theta_m$，由于它经过光阑中心，到达后组的高度为 $(g-z_a)\theta_m$，出射角为

因此 $g-z_a=f_2$ 给出像方远心。两条件同时成立时，$g=f_1+f_2=125$ mm、 $z_a=50$ mm；取物距 $s=f_1$、后组到像面的距离 $f_2$，合焦倍率为 $-f_2/f_1=-1.5$。把组间距改为 145 mm，光阑在 50 mm 或 70 mm 时，便分别得到 仅物方或仅像方远心的示例。

起始为双侧远心，先只选“物面远移10 mm”，看主光线角、光束中心高度和边缘跨度； 再复位两平面，只移动像面。 比较“仅物方远心”与“仅像方远心”时，重点辨认哪一侧主光线平行，不能只用轴上物点判断远心性。

页面分别移动物面与像面，保留光束中心高度比、物方/像方主光线角和边缘光线跨度。 中心高度描述几何尺度，跨度描述聚散；移动后即使中心位置保持，仍需检查离焦。 图中主光线由物面到光阑的矩阵选出，再逐面追迹；式 (16.8)--(16.9) 另作独立几何 对照。物点移到轴上时，普通系统的主光线也沿轴传播，所以仍按光阑与焦点位置分类。

摄影镜头通常不完全远心，但数字传感器希望边缘主光线角不过大：滤色片、微透镜和硅 对斜入射的响应会下降或串扰。短后焦无反系统给广角设计更多自由，也可能要求偏置 微透镜和传感器专用校正。

卡口直径和法兰距只是约束集合的一部分。大卡口、短法兰可允许更大后组或更直的边缘 光线，但不能单独保证更大光圈或更高 MTF；前玉、入瞳、机械遮挡和镜头设计仍决定 实际能力。

16.7 镜头剖面图的读法

读剖面图时，可以先沿光路查清各组的作用：

1. 找光阑并估计入瞳由前组怎样成像；
2. 标出主要正、负光焦度组，判断 retrofocus、telephoto 或近对称布局；
3. 查哪些组用于变焦、对焦和防抖；
4. 看后组尺寸和边缘主光线角，而不是只看卡口；
5. 再看非球面、低色散和衍射元件被放在哪个高光线高度位置；
6. 用 MTF、畸变、暗角、呼吸和近摄数据验证猜测。

剖面图给出结构线索，进一步计算还需每个表面的曲率、材料、位置和有效口径。 得到实际样品后，再用测量检查加工与装调误差的影响。

练习