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第二章：从光子到电子：硅光电转换与像素

第一章算出，一个 4 μm4\ \mu\mathrm m 方形像素在给定绿光曝光下平均接收约 4430 个 光子。若其中 70% 最终贡献一个信号电子，像素平均留下约 3100 个电子。重复相同条件的 曝光，计数会围绕这个均值波动。硅的吸收、电场中的电荷收集和光子计数涨落 共同决定信号电子的数量及其波动。

2.1 吸收与量子效率

硅是带隙半导体。能量足够的光子可激发电子跨越带隙；在可见光范围，吸收深度随 波长显著变化。短波通常在接近入射表面处被吸收，红光和近红外能进入更深处。完整的 吸收系数来自材料实验，本书把它作为外部器件物理输入。

对均匀材料中的单色准直光，若吸收系数为 α(λ)\alpha(\lambda)，忽略散射并把界面反射 另行处理，光强 I(z)I(z) 满足

dIdz=−αI,I(z)=I(0)e−αz.(2.1)\frac{dI}{dz}=-\alpha I, \qquad I(z)=I(0)e^{-\alpha z}. \tag{2.1}

因此厚度 dd 内被吸收的比例为 1−e−αd1-e^{-\alpha d}。这只是“光子在硅中被吸收”的 概率；被吸收后产生的载流子还可能复合、扩散到邻像素，或未被电场收集。故外量子 效率可概念性分解为界面透射、滤色片与微透镜效率、硅吸收概率以及载流子收集概率的 乘积，但实际器件中各因子可能耦合，不能总由独立标量严格相乘。

定义 2.1（外量子效率）. 对波长 λ\lambda，外量子效率 η(λ)\eta(\lambda) 是最终被读出为信号电子的平均数与入射到指定感光单元的平均光子数 之比。入射参考面取像素上方，面积取整个像素单元；若 QE 已包含滤色片、微透镜和 填充效率，计算时就不再重复乘这些损失：

η(λ)=E[Ne∣λ]E[Nγ∣λ].\eta(\lambda)=\frac{\mathbb E[N_e\mid\lambda]} {\mathbb E[N_\gamma\mid\lambda]}.

本书讨论普通可见光硅像素，无雪崩或其他载流子倍增，故采用 0≤η≤10\le\eta\le1。 反射、滤色片吸收、金属遮挡和硅内复合会降低收集效率；串扰还会把信号转移到邻近 单元，改变空间响应。若资料在裸硅表面或仅在光敏区定义 QE，须先统一参考面和面积 再代入式 (2.2)。

将第一章的光谱曝光量代入，像素平均信号电子数为

μe=Aphc∫0∞η(λ)λHe,λ(λ) dλ.(2.2)\mu_e =\frac{A_p}{hc}\int_0^\infty \eta(\lambda)\lambda H_{e,\lambda}(\lambda)\,d\lambda. \tag{2.2}

彩色传感器还需把彩色滤光片透射率并入 η\eta，所以红、绿、蓝感光单元面对同一 光谱时有不同的电子计数。

定义 2.2（光电响应度）. 若单色入射光功率为 PλP_\lambda、产生的平均光电流为 IeI_e，则响应度 R(λ)=Ie/Pλ\mathcal R(\lambda)=I_e/P_\lambda，单位为 A/W。由 Ie=qηN˙γI_e=q\eta\dot N_\gamma 与 Pλ=(hc/λ)N˙γP_\lambda=(hc/\lambda)\dot N_\gamma 得

R(λ)=η(λ)qλhc.(2.3)\mathcal R(\lambda)=\eta(\lambda)\frac{q\lambda}{hc}. \tag{2.3}

响应度按瓦归一化，量子效率按光子数归一化；二者不能在不注明波长时直接比较。

图 2.1 从光子到 RAW 码值的信号链

图 2.1　从入射光子到信号电子，要经过滤光、吸收与电荷收集；从电子到RAW，则要 经过电压转换与量化。后端增益改变电压或码值的尺度，已经收集的电子数保持不变。

吸收深度与收集深度是两回事

在式 (2.1) 的均匀模型中，令入射面反射比例为 RR，则深度 zz 附近、每单位入射 光子的吸收概率密度为 (1−R)αe−αz(1-R)\alpha e^{-\alpha z}。若入口有厚度 z0z_0 的失效层， 其后的收集概率取指数形式 c(z)=e−(z−z0)/Lcc(z)=e^{-(z-z_0)/L_c}，失效层内取零。 LcL_c 控制这个简化收集律的衰减深度，器件的实际收集概率需另外测定。对 d>z0d>z_0，积分得到

η=(1−R)e−αz0αα+1/Lc[1−e−(α+1/Lc)(d−z0)].\eta=(1-R)e^{-\alpha z_0} \frac{\alpha}{\alpha+1/L_c} \left[1-e^{-(\alpha+1/L_c)(d-z_0)}\right].

推导只需把两指数相乘，再在 [z0,d][z_0,d] 积分；d≤z0d\le z_0 时结果为零。 与之比较，整层吸收比例是 (1−R)(1−e−αd)(1-R)(1-e^{-\alpha d})，因 0≤c≤10\le c\le1，收集产额 不会超过吸收比例。无失效层且 Lc→∞L_c\to\infty 时两者才相等。若吸收极浅而入口 失效层存在，大多数光子会在不能收集的区域被吸收，“吸收更强”便未必给出更高QE。

起始硅厚6 μm、穿透长度3 μm。 先只增大厚度，比较吸收比例与收集电子产额； 再选“浅吸收遇到失效层”，看光虽在入口附近被吸收，为什么电子产额反而低。 深度探针标的是累计到哪里，不改变器件厚度。

互动示意：吸收深度、入口失效层与收集概率的分离

互动示意：6 μm均匀层，穿透长度1/α为3 μm，入口失效层0.5 μm。收集概率用声明的 指数函数；闭式积分与分层存活差分积分互核。深度展开不表示载流子的真实运动轨迹。

演示把穿透长度 1/α1/\alpha 作为可调输入。按波长比较实际器件时，需要相应温度和 材料的吸收系数，以及该器件的收集响应。DTI的横向串扰还涉及像素边界和横向输运， 需另建空间模型。

2.2 光子计数与散粒噪声

以下用 μe\mu_e 表示重复曝光的平均电子数，用 σe\sigma_e 表示围绕均值波动的 标准差。方差是标准差的平方，写成 Var⁡(Ne)=σe2\operatorname{Var}(N_e)=\sigma_e^2； 均值和标准差都用电子刻度，方差则用电子数的平方。σe>0\sigma_e>0 时，信噪比是二者之比 SNR=μe/σe\mathrm{SNR}=\mu_e/\sigma_e。标准差也常写作rms噪声：对减去均值的涨落， 先平方、取平均，再开平方，便得到同一个量。

在相干性和强度涨落可以忽略的普通摄影模型中，固定时空窗口内的光子到达近似为 Poisson 过程。若

Nγ∼Poisson⁡(μγ),N_\gamma\sim\operatorname{Poisson}(\mu_\gamma),

且每个光子独立地以概率 η\eta 产生一个被收集电子，则电子计数仍为 Poisson 分布。

命题 2.3（Poisson 稀疏化）. 若 μ≥0\mu\ge0、0≤η≤10\le\eta\le1， N∼Poisson⁡(μ)N\sim\operatorname{Poisson}(\mu)，给定 N=nN=n 后每个事件独立地以概率 η\eta 保留，保留数为 MM，则 M∼Poisson⁡(ημ)M\sim\operatorname{Poisson}(\eta\mu)。

证明. 对 m≥0m\ge0，由全概率公式

Pr⁡(M=m)=∑n=m∞e−μμnn!(nm)ηm(1−η)n−m=e−μ(ημ)mm!∑k=0∞[μ(1−η)]kk!=e−ημ(ημ)mm!.\begin{aligned} \Pr(M=m) &=\sum_{n=m}^\infty e^{-\mu}\frac{\mu^n}{n!} \binom nm\eta^m(1-\eta)^{n-m}\\ &=e^{-\mu}\frac{(\eta\mu)^m}{m!} \sum_{k=0}^\infty\frac{[\mu(1-\eta)]^k}{k!}\\ &=e^{-\eta\mu}\frac{(\eta\mu)^m}{m!}. \end{aligned}

这就是参数 ημ\eta\mu 的 Poisson 分布。□\square

因此

Var⁡(Ne)=μe,σshot=μe.(2.4)\operatorname{Var}(N_e)=\mu_e, \qquad \sigma_\mathrm{shot}=\sqrt{\mu_e}. \tag{2.4}

即使读出电路完美，光子计数仍有式 (2.4) 的不确定性。只受散粒噪声限制时， SNR=μe\mathrm{SNR}=\sqrt{\mu_e}；信噪比提高一倍需要四倍电子，即两档曝光。

图 2.2 散粒噪声的绝对幅度与相对幅度

图 2.2　两图采用相同的平均电子数和对数横轴。左图的Poisson标准差为 μe\sqrt{\mu_e}，右图的相对噪声为 1/μe1/\sqrt{\mu_e}；圆点对应100、400、1600、 6400 e⁻。均值增至四倍时，绝对噪声增至两倍，相对噪声减半。

例如，100 e⁻信号的散粒噪声为10 e⁻ rms，400 e⁻信号的散粒噪声为20 e⁻ rms。 后者的绝对波动更大，但只占信号的5%，低于前者的10%。因此评价画面颗粒时， 应先统一两幅图的显示亮度与比较尺度，再比较噪声。

固定入射数与固定平均数

“每次恰好有24个光子”和“每次平均有24个光子”给出的电子噪声不同。前者只剩 光电转换的筛选涨落：给定 N=nN=n，收集数 MM 是 nn 个独立 Bernoulli 变量之和， 所以条件均值为 ηn\eta n，条件方差为 η(1−η)n\eta(1-\eta)n。 若 NN 本身也在变化，还须加上入射数涨落传入的方差。把 M−E[M]M-\mathbb E[M] 分成 M−ηNM-\eta N 和 η(N−E[N])\eta(N-\mathbb E[N])；第一项给定 NN 后均值为零，因此交叉项期望为零，得到

Var⁡(M)=η(1−η)E[N]+η2Var⁡(N).(2.4a)\operatorname{Var}(M) =\eta(1-\eta)\mathbb E[N]+\eta^2\operatorname{Var}(N). \tag{2.4a}

取 η=0.5\eta=0.5，每次固定24个入射光子时，电子均值为12，方差为6；Poisson入射 的均值同为24时，入射方差也是24，电子方差就成为 6+6=126+6=12。这里均值以电子计， 方差以电子数的平方计。QE 为一时，固定入射模型的电子数完全不变，Poisson模型 则保留全部入射涨落；这两个端点可以检验是否漏掉了式 (2.4a) 的第二项。

起始平均入射24个光子、QE为一半。 本次曝光结束后，在“Poisson入射”和“固定入射数”间切换，比较下方分布宽度和方差； 两种情况的平均电子数相同。 要观察随机散布，最后再按“换一组曝光”，不要一边换样本一边比较QE。

互动示意：Poisson光子到达经QE筛选后，单次事件与多次曝光计数分布

互动示意：上图显示一次完整曝光内的事件时刻，连线表示哪些入射事件贡献了电子； 下图比较4096次完整曝光的光子与电子计数。柱是合成观测，虚线是精确分布。

图中 TT 表示一次完整曝光的时长。回放只推进上方这一次曝光；下方统计始终对应 完整曝光，避免把半次曝光与完整曝光的均值混用。Poisson到达由独立指数等待时间生成，再逐个按QE筛选。改变QE 时复用同一批入射时刻和随机标记；“换一组曝光”才重新采样。固定入射模式则每次 保留相同的总数，事件时刻在曝光窗口中独立均匀分布。两种模式都未加入读噪或满阱 裁切，因而可以直接与命题2.3和式 (2.4a) 对照。

贯穿算例：3101 个电子是均值

沿用序章参数，平均光子数为 4430.02， 经 QE 0.70 独立筛选后，电子数服从均值约为 3101.023101.02 的 Poisson 分布。 其方差在电子计数刻度上也是 3101.023101.02，标准差为 3101.02≈55.69\sqrt{3101.02}\approx55.69 e⁻。 若把入射光子数误固定为 4430，再用二项分布计算，就会得到 4430×0.7×0.3≈930.34430\times0.7\times0.3\approx930.3 的方差；那只计入条件筛选涨落，漏掉了 入射光子数本身的波动。第四章会在正确的总方差上加入读出噪声。

2.3 光电二极管、势阱与满阱

现代摄影 CMOS 常使用钉扎光电二极管（pinned photodiode, PPD）。曝光期间，光生 电子在光电二极管的势阱中积累；达到线性容量后，额外电子会溢出、复合或进入非线性 区域。

定义 2.4（线性满阱容量）. 在线性误差不超过指定阈值的条件下，像素可容纳并 可靠转移的最大信号电子数记为 QFWQ_\mathrm{FW}。它的单位是电子，不是 bit。

满阱不是 ADC 最大码值。前者属于电荷域，后者属于数字编码域；模拟增益和黑电平会 改变多少电子映射到一个码值，却不一定改变光电二极管能容纳多少电子。

例子 2.5（光子上限与电子上限）. 某像素在绿光下量子效率 0.750.75，线性满阱 45 000 e−45\,000\ e^-。若忽略其他限制，使像素平均达到满阱需要约

45 0000.75=60 000\frac{45\,000}{0.75}=60\,000

个入射绿光子。在尚未计入饱和截断的 Poisson 模型中，该电平的散粒噪声约 212 e−212\ e^-，仅由散粒噪声决定的 SNR 上限估计约 212:1212:1，即 46.5 dB46.5\ \mathrm{dB}。把 ADC 从 12 bit 换成 14 bit 不会自动改变这些 电子域数值。实测最大线性信号应留在规定的线性误差范围内；若把均值推到硬剪切点， 分布的上尾已经被截断，便不再服从这里的无截断模型。

2.4 4T 像素的四个晶体管

典型 4T PPD 像素含四个主要晶体管功能：

  1. 转移门 TX，把 PPD 中电子移到浮动扩散节点 FD；
  2. 复位晶体管 RST，把 FD 复位到参考电势；
  3. 源跟随器 SF，缓冲 FD 电压；
  4. 行选择晶体管 SEL，把该像素接到列读出线。

浮动扩散节点的电容记为 CFDC_\mathrm{FD}。转入一个电子导致的电压变化量近似为

K=∣ΔVΔNe∣≈qCFD,(2.5)K=\left|\frac{\Delta V}{\Delta N_e}\right| \approx\frac q{C_\mathrm{FD}}, \tag{2.5}

其中 qq 是元电荷。KK 越大，同样电子数产生越大的电压摆幅，后级固定电压噪声 折算到电子域后越小；但在允许电压摆幅固定时，可容纳的 FD 电荷也更少。这是高转换 增益与FD电荷容量之间的权衡。

2.5 相关双采样与电荷测量

4T 像素读出时，先复位 FD，再读取它的参考电平；随后打开 TX，把曝光中存放在 PPD 内的电荷转移到 FD，再读一次电压。复位 FD 和复位 PPD 是不同操作：读取 FD 参考值时，待测电荷仍可留在 PPD 中。完整转移使 PPD 为下一次积分准备好，而 FD 上的电压变化供本次测量使用。

复位 FD 后先读出复位电平 VRV_R，转移电荷后再读出信号电平 VSV_S，以差值

ΔV=VR−VS\Delta V=V_R-V_S

表示信号。这称为相关双采样（correlated double sampling, CDS）。同一次复位产生 的固定偏置和低频相关噪声可在差分中抵消；两个样本各自独立的白噪声方差则相加。

设

VR=V0+k+nR,VS=V0+k−KNe+nS,V_R=V_0+k+n_R,\qquad V_S=V_0+k-KN_e+n_S,

kk 是这一次复位产生、两次读数共有的随机电压，则

VR−VS=KNe+nR−nS.V_R-V_S=KN_e+n_R-n_S.

kk 被消除；若 nR,nSn_R,n_S 独立且方差均为 σv2\sigma_v^2，差值噪声方差为 2σv22\sigma_v^2。现实 CDS 的收益取决于噪声频谱、采样间隔和电路实现，不能概括成 “噪声减半”。

先把独立采样噪声降为0，选“6 差分”，再拖动“本次复位偏移 k”：两次电压同向移动，差值不变。 随后恢复30 μV噪声并“重新采样”，看差值的波动。 上方六个步骤按钮用于定位采样时刻，上面的差分式解释最后相减的对象。

图 2.3 典型 4T 钉扎光电二极管像素

图 2.3　PPD存储光生电荷，TX控制电荷向FD转移；FD将电荷转换为电压，再经SF 缓冲、SEL选通送往列线。RST负责复位FD。图为功能连接示意，PPD满阱、FD电压容量 与ADC白点各有自己的饱和边界。互动按积分、FD复位、参考采样、转移、 信号采样及差分的顺序显示电荷和电压；步骤时长只作示意。

共同复位偏移在两次电压中以相同系数出现，差分后抵消；独立采样噪声分别进入 两次读数，即使信号电荷完全相同，CDS结果仍会波动。 互动中固定电子数，是为了单独考察读出；实际曝光的散粒噪声不能靠这次差分消除。

光子到达的 Poisson 涨落影响信号的随机波动，量子效率决定平均转换比例，电荷容量 限定饱和上限。下一章讨论 4T 像素之后的列放大器与 ADC，计算增益和位深对读出噪声、 量化误差及剪切的影响。

分瞳像素还能提供测焦信息：两组光电二极管分别记录不同瞳区的图像，再从相对偏移 决定镜组调整方向。其几何关系、观测搜索和执行器衔接见第18.7节。

练习

练习 2.1. 量子效率为 0.50.5，平均入射光子数为 10410^4。计算平均电子数、电子 散粒噪声和仅受散粒噪声限制的 SNR。

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练习 2.2. 若 CFDC_\mathrm{FD} 从 20 fF20\ \mathrm{fF} 降到 5 fF5\ \mathrm{fF}，按式 (2.5) 计算转换增益的倍率。允许电压摆幅不变时，FD 可容纳 电荷的上限如何变化？

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练习 2.3. 两次 CDS 样本的噪声方差均为 σ2\sigma^2、相关系数为 ρ\rho。证明 差值噪声方差为 2σ2(1−ρ)2\sigma^2(1-\rho)。

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练习 2.4. 单色波长为 550 nm，外量子效率为 0.700.70。用式 (2.3) 计算光电 响应度，单位 A/W。若吸收系数为 α>0\alpha>0，求吸收 90%90\% 入射光所需的最小厚度 dd（忽略界面反射和载流子损失）。

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