第十八章：镜头尺寸、近摄附件与对焦驱动

400 mm f/4与400 mm f/8对入瞳尺寸的要求不同。给50 mm镜头加空延长管，会改变 它的物像共轭；USM、STM和VCM则采用不同的机构移动镜组。通光尺寸、近摄范围 和对焦动作都受到机械空间与行程的限制。第十一章的主平面、瞳和焦距，以及 第十六章的镜组运动模型，可用于计算这些光学与机械条件。

18.1 焦距、f数与实际光孔

取空气中的正焦距成像镜头，$f>0,N>0$。无穷远标称f数由焦距和入瞳直径决定。 记孔径光阑的实际直径为 $D_a$，前组把它 向物方成像的横向放大率绝对值为 $M_\mathrm{EP}>0$，则

例如50 mm f/2的入瞳直径为25 mm。前组若把光阑放大1.5倍，实际开孔只需约 16.67 mm；若放大率为0.8，实际开孔则为31.25 mm。这两种布局的入瞳相同。 透过镜头看到的光孔、拆开后量到的光阑、滤镜螺纹直径，是三个不同的尺寸。

400 mm f/4的入瞳要100 mm，400 mm f/2.8要约142.86 mm，800 mm f/4要200 mm。 这些是入瞳要求。镜片、镜筒与遮光罩还要容纳离轴光束、安装边缘和机械结构， 所以不能直接用 $f/N$ 算成品镜头的外径。

离轴视场与通光余量

先看一个可以直接算的前部空间：前开口到入瞳参考面相距 $\ell\ge0$，其间只有 空气、没有折射面。入瞳直径为 $D_\mathrm{EP}$，入射方向覆盖 $-\alpha$ 到 $+\alpha$，其中 $0\le\alpha<\pi/2$。在这个截面上，光束中心的横移为 $\ell\tan\alpha$，圆形前开口的直径至少为

推导. 最外侧边缘光线在前开口处的高度为 $D_\mathrm{EP}/2+\ell\tan\alpha$，相反方向的边缘光线高度为其负值，二者之差 便得到式 (18.2)。这一步只追踪空前部空间；真实前组会折射光线并改变瞳的位置和 形状，应像第十一章的截光实验那样逐孔面检查。

图 18.1　400 mm f/4的入瞳直径为100 mm。空前部空间长40 mm、半视场8°时， 边缘光束要求的前开口约111.24 mm；前组瞳放大率1.5对应实际光阑约66.67 mm。 右侧圆形尺寸只比较直径，未画出完成瞳成像的前组处方。

先选“轴上 · 400 mm f/4”，核对100 mm入瞳； 再选“加上8°视场”，只增加视场，查看111.24 mm前开口要求。 最后回轴上分别比较f/2.8和焦距加倍，区分f/N决定的入瞳、实际光阑与前部通光余量。

像方也要留出空间。取一个孔面到像面之间无折射面的子午截面，距离为 $z>0$， 该视场的像高为 $h$。用斜率描述光束：主光线斜率为 $u_c$，两条边缘线斜率为 $u_c\pm u_a$，其中 $u_a>0$。向前回溯到孔面，光束中心高度为 $h-zu_c$、 半宽为 $zu_a$，该截面所需半口径满足

这是由两条边缘线的高度直接得到的斜率模型。在近轴、像方远心的例子中， $u_c=0$、$u_a\approx1/(2N_\mathrm{eff})$；像高21.6 mm、孔面到像面20 mm、 有效f/4，需要的半径约24.1 mm。更短的像面前空间可以减小这部分余量；若改变 主光线倾角，还要同时检查传感器的入射角响应。第十六章所说的大卡口和短法兰距 提供的是这些布局自由度，不能单凭卡口外径给镜头的最大光圈下结论。

后部光路中还可能有传感器盖玻璃、红外截止层和低通滤镜。 第十三章的平行平板模型 说明，即使出射方向保持，像面前的透明层也会改变会聚位置，并留下随锥角变化的 球差。设计短后焦或改装镜头时，除了后组和卡口的通光口径，还应核对镜头原来 针对的像面前层系；仅重新对焦并不保证恢复原有点像。具体结果须用该层系的厚度、 色散、主光线角和实际镜头处方计算。

同一幅面上，长焦镜头的视场变窄，所需入瞳却随焦距增长。要比较镜头为何变大， 需同时看焦距、最大f数、覆盖画幅、像质要求和允许的暗角。只看滤镜口径或镜筒 长度，会漏掉这些条件。

18.2 镜头减重与尺寸约束

先估计材料尺寸的量级。密度为 $\rho_g$、直径为 $D_b$、厚度为 $t_b$ 的实心 圆柱玻璃毛坯，质量为

三个长度使用相同单位，密度与之匹配。直径100 mm、厚10 mm、密度2.5 g/cm³的 毛坯约196.35 g。直径加倍而厚度不变，质量变为四倍；各长度都按同一倍率放大， 体积和质量才按倍率的立方增长。曲面切去的材料、其他镜片、镜筒和驱动部件还需 另算，圆柱估计不能当作整镜重量。

现代镜头通常从几处一起减重：

前五项改变设计与制造，第六项重新分配光学和处理任务，最后一项改变输入要求。 例如600 mm f/11的入瞳约54.55 mm，600 mm f/4为150 mm，面积比约7.56；两者的 尺寸和重量差，不能全部归因于新材料。对一支已固定焦距、画幅、f数和透射条件的 镜头，仍需让相应光束通过，并给镜片边缘与机构留出空间。

光学布局缩短和材料减重也应分开。望远型能让第一组到像面的距离短于有效焦距， 却不消除前端收光口径；反望远型留出较长后焦空间，常需处理更大的离轴光束。 折反射系统通过折返光路缩短轴向尺寸，但中心遮挡会改变PSF和离焦光斑。 这些变化适合结合第十二、十三章的点像一起判断。

18.3 增距镜的焦距与f数变化

后置增距镜装在主镜与机身之间，用一组光学元件扩大主镜形成的像。理想增距倍率 为 $M\ge1$、主镜焦距为 $f$ 时，组合焦距约为 $F=Mf$。若主镜入瞳直径保持 不变，组合f数与几何曝光损失为

2倍增距使100 mm f/4变为200 mm f/8，曝光量在相同快门下为原来的四分之一，损失 2档；1.4倍的几何损失约0.97档，通常按1档标记。吸收、反射与机械截光可能再增加 损失。Nikon的增距镜说明 给出这些倍率与f数变化；实际可用组合仍按机身、主镜与附件的兼容说明核对。

负光焦度与后焦面移动

把主镜简化为焦距 $f>0$ 的薄镜。原来平行光在 $z=f$ 会聚，在原焦面前 $\delta\in(0,f)$ 处加入负薄组，它的位置为 $d=f-\delta$。选择负组焦距

其中 $M>1$，$q$ 是负组到新像面的距离。$M=1$ 按负组光焦度为零处理。

推导. 两薄组的总光焦度为 $1/F=1/f+1/f_c-d/(ff_c)=(1+\delta/f_c)/f$。 代入 $f_c$ 得 $F=Mf$。第二组处的轴上边缘光线高度为初始高度的 $\delta/f$，负组减小会聚角后，该光线再走 $M\delta$ 达到光轴。 这也可由总矩阵的后焦距 $-A/C$ 独立求得。

图 18.2　主薄镜100 mm，负组位于80 mm、焦距−40 mm；原剩余像程20 mm变为 40 mm，新像面位于120 mm。蓝线为实际传播，灰虚线为未加负组时的参考会聚； 一组示例光线不代表全部孔径。

增距镜会放大主镜已有的像差和模糊，也引入自己的像差。它能否让同一目标记录 更多细节，要结合主镜MTF、传感器取样、曝光噪声和对焦误差，与直接裁切在相同 输出尺寸下比较。增距倍率不能直接当作细节增益。许多增距镜还有凸出的前组， 需要主镜后部留出相应空间。

18.4 空延长管、近摄镜与反装

延长像距，改变可合焦的物距

空延长管不含光学元件，只增加镜头与传感器的距离。设固定焦距薄镜原有放大率 绝对值为 $m_0\ge0$，再增加延长量 $e\ge0$。对实物实像，新的放大率绝对值 $m>0$、像距 $b$、物距 $s$ 满足

推导. 薄透镜公式与 $m=b/s$ 联立，先得 $b=f(1+m)$。增加 $e$ 使 $b$ 增加 相同长度，于是 $m$ 增加 $e/f$，再回代得 $s$。$m_0=e=0$ 时，物距为无穷远， 不能将零直接代入 $1/m$。

例子 18.1（50 mm镜头加25 mm空管）. 原来对焦无穷远，$m_0=0$。新倍率为 $25/50=0.5$，像距75 mm，物距150 mm，薄镜模型的传感器到物体距离为225 mm。 36 mm宽传感器覆盖物方约72 mm。这里150 mm从薄镜平面量起，不能直接报告成 相机标注的最近对焦距离。

对光阑位于薄镜平面、入瞳与出瞳同大的对称模型，像方光锥的近轴f数为

这是由同一开孔直径和增大的像距直接得到的。上例标称f/4，对应有效f数约6， 光量补偿因子2.25，约1.17档。实际厚系统应读取出瞳直径与它到像面的距离， 由像方锥角计算；内对焦还可能改变焦距与瞳倍率。相机是否显示有效光圈也随系统而异。

近摄镜增加的是光焦度

前置近摄镜是一片或一组正光焦度附件，单位常写为屈光度D，即m⁻¹。主镜对焦 无穷远时，理想近摄镜可把约 $1/P_c$ m处的物体变成供主镜接收的平行光。 例如 $+4$ D对应从近摄镜量起约0.25 m；与50 mm主镜组合时，近轴倍率约为 $0.050\times4=0.20$。镜间距、主镜对焦状态、附件色差与边缘像质需进一步计算。 它与空延长管分别改变光焦度和像距，不能只按“都能拍近”归为同一种原理。

反装与大倍率共轭

普通摄影镜头常为较大的物方与较小的像方优化。反接环把原像方朝向近处小物体， 让原物方朝向传感器；再用安装距离或皮腔建立大倍率共轭。对有限非零的原横向倍率，依据光路可逆性，若把 原来的两个共轭平面交换，并倒转镜头，横向倍率成为倒数：

推导. 原来的高度映射 $y'=my$ 在反向传播时成为 $y=y'/m$。这个结论要求 交换原物像平面，而非保持相机和物体不动、只将镜头翻面。理想薄透镜翻转后焦距 和原位置的共轭关系不变；真实非对称镜头的主平面、瞳和安装参考则随方向互换。

图 18.3　上方为50 mm薄镜加25 mm延长量后的150/75 mm共轭；下方另取同焦距 的300/60 mm缩小共轭，再交换为60/300 mm放大共轭。两组分别说明像距延长与 光路倒转，不能把下方倍率直接当作任意反接环的规格。

反装后是否改善像差，取决于原设计的共轭与新的工作条件。实际反接环的倍率还 受主平面到卡口的距离和对焦位置影响。还应分别考虑光圈控制、电子连接、前后组 的安装空间和照明工作距离；Nikon BR-2A/BR-5说明书 也将反接方向与对焦方法分开说明。

空延长管页从50 mm加25 mm开始，再改为50 mm延长，核对0.5倍与1倍成像、物距和像距； 拆下延长管时回到无穷远。 增距镜页只切换1×与2×，看有效焦距、f数和新像面。 反装页把原0.2倍共轭交换成5倍，焦距仍为50 mm； 翻面本身没有把薄镜焦距变成五倍。

18.5 最近对焦距离的限制

最近对焦距离通常从机身的传感器/胶片平面标记量到物体；工作距离从镜头前端 量到物体，两者应分别报告。遮光罩、附件和镜头伸长会改变可用照明空间，单靠 标称焦距算不出实际工作距离。

固定薄镜的物距与像距相加，可写成

不等式来自 $m+1/m-2=(m-1)^2/m\ge0$，等号在1∶1处取得。50 mm薄镜在倍率0.5 和2时，传感器到物体都为225 mm；在1∶1时为200 mm。继续延长，物体逐渐靠近 透镜焦点，传感器却离透镜更远，所以两者总距离不再持续缩短。

实际内对焦系统的主平面间距和有效焦距会变，式 (18.9) 的固定薄镜下界不能用来 否定它的近摄规格。最近对焦还受下列条件共同限制：

• 镜组行程、组间碰撞与导向空间；
• 近摄时的球差、像散、场曲和色差；浮动组用额外运动自由度改善这些变化；
• 像面锥角、有效光圈、衍射和允许的离焦；
• 对焦传感、位置反馈和控制器能否在该距离可靠收敛；
• 镜头前端与物体之间的照明、遮挡及工作空间。

所以“对焦马达能再走一点”不保证镜头可以继续保持近摄像质。阅读微距规格时， 至少一起看最大放大率、最近对焦距离、工作距离与该倍率下的有效光圈。

18.6 对焦马达的驱动与镜组位移

相机先估计需要的焦位变化，再由执行器移动镜组，位置或图像反馈检查结果。 马达负责其中的力与运动转换，不能独自决定整套AF的速度和准确度。

图 18.4　丝杠将转角换成位移；音圈在磁场中直接受力；环形行波超声马达通过 接触面的振动与摩擦带动转子。图为功能示意，未按元件尺寸比例绘制；品牌名称 还可能包含不同传动和反馈实现。

Canon的驱动技术说明 区分环形USM、直线Nano USM、丝杠/齿轮STM与VCM； 双Nano USM浮动对焦实例 展示两个组分别驱动。应按机构和反馈来读这些名称，不将缩写排成跨镜头通用的 快慢或噪声等级。

步距不等于对焦精度

理想丝杠导程为 $p_s$，转子每转有 $n_s$ 个整步，每步细分 $n_\mu$ 次。 指令中的一个细分步对应

导程0.5 mm、每转200步、16细分，指令间隔为0.15625 μm。它只给离散指令的 刻度；齿隙、弹性、摩擦和负载会改变实际位移。若机械回差为8 μm，增加细分数 不会自动把回差变成0.15625 μm。位置闭环与相机的图像反馈承担不同层次的校正。TI的 步进驱动说明 §2.2.3也区分细分水平、 停止精度与足以克服负载的增量转矩。

音圈电流、驱动力与位移

在小行程、磁路近似不变的模型中，音圈推力约为 $F=K_FI$。把移动镜组质量记为 $m_g$，线性阻尼为 $c_g$、等效弹性为 $k_g$，轴向运动方程为

这是Newton第二定律加上线性阻尼、弹性近似。没有恢复弹性时 $k_g=0$，恒定电流 也不对应唯一的静止焦位；需要位置或图像反馈决定何时加速、减速与停止。

例子 18.2（移动质量与初始加速度）. 取力常数0.5 N/A、电流0.2 A，初始推力 为0.1 N。20 g镜组在初始阻力可忽略时加速度为5 m/s²；质量减半，初始加速度 加倍。若在这个理想初始阶段维持10 ms，位移为 $\tfrac12\times5\times0.010^2=0.00025$ m，即0.25 mm。实际到位还要减速、 抑制振动并重新测焦，这个计算不能直接当作AF用时。

镜头设计因此会同时考虑镜片质量、导向、驱动力、反馈和光学灵敏度。近轴薄镜中， $s=f+f^2/(b-f)$ 给出 $ds/db=-f^2/(b-f)^2$：同样的轴向位置误差，在不同对焦 距离上对应不同的物距变化。只比较马达的理论步距，解释不了近摄精度或远景追焦。

从转角、电流和振动追到位移

丝杠的指令位置与螺母位置在换向时可能分开。取一次往返：命令转数 $r_c$ 从零 增至给定峰值，再回到零；起点已贴紧正向接触面。记 $N_c=n_sn_\mu$，将指令 四舍五入到最近微步后，理论轴向位置为 $q$，其峰值为 $q_\mathrm{max}>0$。 若单次换向间隙为 $0\le b_h\le q_\mathrm{max}$，一个刚性间隙模型为

反程开始时，$q+b_h$ 仍大于峰值，螺母暂时留在原处；理论位置退够 $b_h$ 后， 它才贴住另一侧接触面跟随返回。回到起始转角时，螺母仍差 $b_h$。改变细分数 只改变 $q$ 的刻度，不能自动消除这个间隙。三维演示将这段空行程标红。

音圈则可以直接从电流积分出运动。设 $I_0,K_F,m_g,T>0$，镜组初始静止，忽略 阻力、弹性与电流建立时间。先通 $+I_0$ 持续 $T$，再通 $-I_0$ 持续 $T$。 令 $a=K_FI_0/m_g$，第二段用 $\tau=t-T$，则

这是对两段恒加速度分别积分，并在换向时接续位置和速度的结果。若质量用kg、 时间用s，式中的 $x,v,a$ 分别用m、m/s、m/s²。例18.2的20 g镜组在第一段 10 ms走过0.25 mm；等长反向脉冲又走0.25 mm，才把速度降到零。电流反向的 瞬间，力已反向，运动方向却尚未改变。真实位置闭环还需测量误差与实际阻力。

环形行波超声驱动需要区分波形和材料。令环的平均半径为 $R>0$、厚度为 $h>0$， 沿环角坐标为 $\phi$，正切向沿 $\phi$ 增大。取法向振幅 $A>0$、周向阶数 $n\in\mathbb N_{>0}$、角频率 $\omega>0$ 与方向 $\sigma=\pm1$，给定行波

后一行把行波写成空间和时间各差四分之一周期的两驻波。固定 $\phi$ 的材料点 不会随波峰绕环跑，它在原位置附近振动。在小斜率、横截面近似保持垂直于中面的 弯曲运动学中，上表面的切向位移为

相位相差四分之一周期，因此材料点走局部椭圆。波峰处法向位移为 $A$，该处 材料的瞬时切向速度为 $-\sigma\gamma A\omega$，与波峰传播方向相反。转子被 压在接触面上，摩擦把这段切向运动传给转子。定子的压电层、弹性环、两相驱动 与接触问题可对照Bolborici等的模型与实验 §§1—2；这里给定波形，只计算运动学。

演示取 $R=16$ mm、$h=2.4$ mm、$n=6$、$A=2$ μm，故 $\gamma=0.45$。 驱动频率 $f_d=40$ kHz时，周期只有25 μs。为便于观察，振动与转角均按标注的 倍数放大，并将相位慢放。转子转角用“始终跟随峰顶切速”的无滑移参考计算； 真实转速还取决于预压、接触分布、滑移和负载。

步进页先停在“换向，螺母尚未退回”，看丝杠动而镜组暂留； 再改变细分数，只在下方微米图比较台阶。 音圈页比较10 ms反向前与20 ms制动终点，看反向电流如何让仍向前的镜组减速。 超声页跟踪红色材料点与蓝色波峰，再反转行波，区分局部振动、波传播与转子运动。

把丝杠停在刚换向处，螺母仍留在峰值位置；音圈反向通电时，镜组则继续前进， 速度逐渐减小。再查看超声页的红点：它在原位置附近往复，蓝色波峰持续沿环 推进，接触环沿相反方向转动。用这些位置和方向对照下方曲线，区分转角、 电流和振动各自怎样产生位移。

整段往返图使用毫米尺度，细分数改变时，曲线可能几乎重合。下方的局部图把一个 整步展开到微米尺度，显示指令台阶怎样变细；换向间隙仍保留原值。超声页按相位 慢放，同一相位的形状不随驱动频率改变，实际频率对应的波速另列读数。

18.7 自动对焦的位移估计

执行器接收的位置指令来自测焦。相位差对焦（phase-detection AF, PDAF）让两个 分瞳通道分别接收不同区域的光束，比较两幅图像的相对偏移；偏移的符号提供调整 方向。对比度对焦（contrast AF）则在不同焦位采图，寻找某个清晰度指标的峰。 Canon的双像素技术说明给出双光电二极管 实现，并分别解释两种测焦方式。具体相机还会加入目标识别、预测和镜头标定。

先用薄透镜说明分瞳偏移从哪里来。设物距 $u>f$，理想像距 $v_f=fu/(u-f)$，传感器 实际距镜组 $v$。同一物点经瞳高 $h$ 的近轴光线，在传感器上的离焦分量为 $h(1-v/v_f)$。若两个一维均匀半瞳分别占 $[-b,0]$ 与 $[0,b]$，两束的中心高度相差 $b$，像素间距为 $p$，便有有符号偏移

演示固定物体与传感器，两者相距605 mm，焦距50 mm；镜组从焦点向像方移动 $g$， 于是 $u=550+g$、$v=55-g$，长度同用mm。取 $b=5$ mm、$p=0.004$ mm，在 $g=0$ 处 $d=0$，导数 $d'(0)=22.5$ px/mm。每个半瞳还会对纹理作一段均匀模糊，面板直接 积分这两段光束；局部纹理尺度固定，便于单独检验偏移估计。

起始多频目标、镜组偏移+0.20 mm。 先播放到停止，核对估计位移、位置指令和最终真值误差； 再从另一侧开始，看指令方向反转。 最后选均匀目标与重复条纹，观察拒绝原因。 改变校正比例后，完整位置轨迹可显示收敛与振荡的差别。第0步图像对应相同的初始 条件，因此保持不变。

在多频纹理预设中播放，按观测相关峰 $\widehat d_k$ 更新指令： $g_{k+1}=g_k-\gamma\widehat d_k/(22.5\ \mathrm{px/mm})$。 每步重新采图；相关峰太弱、重复峰接近或搜索达到边界时停止。均匀目标没有可用 位移信息，重复条纹则可能给出多个同样好的峰。真实PDAF还受瞳形、方向、遮挡、 光圈与像差影响，一维条带只用于解释当前的有符号关系。

最后一幅位置轨迹预览保留本次模拟的完整回放。改变校正比例时，第0步的初始观测 不变，后续位置指令会改变；竖线标出当前播放到哪一步。比例过大时可在轨迹中 看到来回校正，比例较小时则需更多步接近焦点。

下方独立扫描33个镜组位置，以A、B合并图像的方差作为清晰度指标，比较观测峰与 无噪声积分曲线。这里只对声明的多频纹理讨论中央最佳焦点；任意图案和噪声下， 某个清晰度指标并不保证只有一个峰。执行器先按位置指令移动，图像反馈再决定下一步； 第18.6节讨论的质量、回差和振动衰减还会影响镜组的位置误差与稳定时间。

无噪声均匀目标的方差在所有扫描位置都为零，因而没有可报告的最佳焦位；面板不会 把相等读数中的任一个端点作为焦点。若只加入观测噪声，扫描虽会出现最大值，这个 位置仍不包含目标提供的焦位信息。

练习