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第一章：辐射度学、光圈与曝光量

同一场景下，快门从 1/1251/125 s 改为 1/2501/250 s，像素接收的平均光子数约减半； 光圈从 f/4f/4 开到 f/2.8f/2.8，又能大致补回这部分光。若改为提高 ISO，照片也可能 变亮，但进入传感器的光没有因此增加。区分这几种操作，需要先描述镜头把多少光 送到单位面积，以及像素在曝光期间一共接收多少能量。

1.1 从功率到辐亮度

定义 1.1（辐射通量）. 辐射通量 Φe\Phi_e 是单位时间传输的辐射能，单位为 瓦特。单位面积接收的通量密度称为辐照度（irradiance）：

Ee=dΦedA,[Ee]=W m−2.E_e=\frac{d\Phi_e}{dA},\qquad [E_e]=\mathrm{W\,m^{-2}}.

辐照度记录接收面的总收光，还没有区分来光方向。描述方向范围需要立体角 （solid angle）：以观察点为球心，在半径 rr 的球面上截取面积 AsA_s，对应的 立体角为 Ω=As/r2\Omega=A_s/r^2，单位为球面度sr。整球是 4π4\pi sr，半球是 2π2\pi sr； 同一束方向张成的范围不随所选球半径改变。

再把来光按波长分开。对与传播方向垂直的投影面积 dAcos⁡θdA\cos\theta、立体角 dΩd\Omega 和波长间隔 dλd\lambda，定义光谱辐亮度（spectral radiance）

Le,λ=d3ΦedAcos⁡θ dΩ dλ.L_{e,\lambda} =\frac{d^3\Phi_e} {dA\cos\theta\,d\Omega\,d\lambda}.

对一个接收面，把各方向的来光按投影因子相加，就得到光谱辐照度：

Ee,λ=∫Ω+Le,λ(θ,ϕ)cos⁡θ dΩ.(1.1)E_{e,\lambda} =\int_{\Omega_+}L_{e,\lambda}(\theta,\phi) \cos\theta\,d\Omega. \tag{1.1}

图 1.1 辐亮度、投影面积与立体角

图 1.1　辐亮度的面积因子是与传播方向垂直的投影面积 dAcos⁡θdA\cos\theta；方向范围由立体角 dΩd\Omega 度量。图为微分几何示意，不按比例。

命题 1.2（均匀半球辐亮度）. 若入射半球内 Le,λ=L0L_{e,\lambda}=L_0 与方向无关，则 Ee,λ=πL0E_{e,\lambda}=\pi L_0。

证明. 在球坐标中 dΩ=sin⁡θ dθ dϕd\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi，故

Ee,λ=L0∫02π∫0π/2cos⁡θsin⁡θ dθ dϕ=2πL0[sin⁡2θ2]0π/2=πL0.E_{e,\lambda} =L_0\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi =2\pi L_0\left[\frac{\sin^2\theta}{2}\right]_0^{\pi/2} =\pi L_0.

半球立体角虽为 2π2\pi sr，辐照度却是 πL0\pi L_0，因为斜入射还要乘 cos⁡θ\cos\theta。镜头收光也有同样的投影权重：不仅要知道开孔面积，还要知道像点 从多大的方向范围看见这个开孔。

1.2 曝光量与光子数

定义 1.3（辐射曝光量）. 曝光区间 [0,t][0,t] 内的光谱辐射曝光量是

He,λ(λ)=∫0tEe,λ(λ,s) ds.H_{e,\lambda}(\lambda)=\int_0^t E_{e,\lambda}(\lambda,s)\,ds.

若照明不随时间变化，则 He,λ=tEe,λH_{e,\lambda}=tE_{e,\lambda}。单个波长 λ\lambda 的 光子能量为

εγ(λ)=hcλ.\varepsilon_\gamma(\lambda)=\frac{hc}{\lambda}.

若曝光量在面积 ApA_p 的像素单元内近似均匀，该像素接收的平均光子数为

μγ=Ap∫0∞He,λ(λ)hc/λ dλ=Aphc∫0∞λHe,λ(λ) dλ.(1.2)\mu_\gamma =A_p\int_0^\infty \frac{H_{e,\lambda}(\lambda)}{hc/\lambda}\,d\lambda =\frac{A_p}{hc}\int_0^\infty \lambda H_{e,\lambda}(\lambda)\,d\lambda. \tag{1.2}

式 (1.2) 解释了为什么相同焦平面能量不必产生相同光子数：长波光子的单个能量更 低。不过传感器的量子效率也随波长变化，电子数还不能只由总光子数决定。

例子 1.4（绿光下的光子预算）. 一个 4 μm×4 μm4\ \mu\mathrm m\times4\ \mu\mathrm m 像素在 550 nm550\ \mathrm{nm} 窄带光下接收 He=1.0×10−4 J m−2H_e=1.0\times10^{-4}\ \mathrm{J\,m^{-2}}。像素上的能量为

Ep=ApHe=16×10−12×10−4=1.6×10−15 J.E_p=A_p H_e=16\times10^{-12}\times10^{-4} =1.6\times10^{-15}\ \mathrm J.

取 h=6.626×10−34 J sh=6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}、 c=2.998×108 m/sc=2.998\times10^8\ \mathrm{m/s}，单光子能量约为 3.61×10−19 J3.61\times10^{-19}\ \mathrm J，故平均入射光子数约为

μγ≈1.6×10−153.61×10−19≈4.43×103.\mu_\gamma\approx\frac{1.6\times10^{-15}}{3.61\times10^{-19}} \approx4.43\times10^3.

若量子效率为 70%70\%，平均信号电子约为 3.10×1033.10\times10^3；这是下一章的起点。

1.3 f 数与像面照度的平方反比关系

令镜头有效焦距为 ff、入瞳直径为 DD，相对孔径数定义为

N=fD.N=\frac fD.

先用光阑位于透镜平面、入瞳与出瞳直径均为 DD 的理想薄透镜说明。物体位于远处， 取轴上一小块辐亮度近似均匀的扩展物面，首尾介质均为空气，忽略渐晕与像差。 像点看见的圆形出瞳半角 α\alpha 满足小角近似

sin⁡α≈tan⁡α≈D2f=12N.\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\frac{D}{2f}=\frac1{2N}.

若镜头透射率为 TT，由命题 1.2 对出瞳所张立体角积分，得到轴上像面辐照度

Eimg=TLe∫02π∫0αcos⁡θsin⁡θ dθ dϕ=TLeπsin⁡2α≈πTLe4N2.(1.3)E_\mathrm{img} =T L_e\int_0^{2\pi}\int_0^\alpha \cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi =T L_e\pi\sin^2\alpha \approx\frac{\pi T L_e}{4N^2}. \tag{1.3}

起始画面停在曝光结束，两侧都是f/4、4 ms。 选“等曝光，收小一档”，先核对光子数比接近1，再比较轨迹长度； 播放只是展开积累过程。 两条光子柱等长时，运动轨迹仍可能不同。

图 1.2 f 数与像面辐照度

图 1.2　在焦距和物方辐亮度固定的近轴模型中，入瞳直径决定像点所见的出瞳 立体角，因而 Eimg∝D2/f2=N−2E_\mathrm{img}\propto D^2/f^2=N^{-2}。图中光束仅表示边缘光线。

演示另外保留有限圆锥角，便于检查近似误差。在同面光阑、瞳放大率为 1 的薄透镜 模型中，以 m≥0m\ge0 表示横向放大率的绝对值，像距为 f(1+m)f(1+m)，于是 tan⁡α=1/[2N(1+m)]\tan\alpha=1/[2N(1+m)]。由前面的圆锥积分，

Eimg=πTLesin⁡2α=πTLe4N2(1+m)2+1.E_\mathrm{img} =\pi T L_e\sin^2\alpha =\frac{\pi T L_e}{4N^2(1+m)^2+1}.

近轴近似略去分母中的 +1+1。页面用角积分与解析值互核，等曝光预设也按这个 圆锥模型匹配时间。播放时，背景光子数与移动点的轨迹分别累积；两次曝光即使收集 相同的平均光子数，也可能因持续时间不同而留下不同长度的拖影。

推论 1.5. 采用式 (1.3) 的近轴近似，保持物方辐亮度和透射率不变，把f数乘以 2\sqrt2，像面辐照度减半，即减少一档曝光。

证明. 式 (1.3) 中 Eimg∝N−2E_\mathrm{img}\propto N^{-2}，所以

Eimg(2N)Eimg(N)=N2(2N)2=12.\frac{E_\mathrm{img}(\sqrt2N)}{E_\mathrm{img}(N)} =\frac{N^2}{(\sqrt2N)^2}=\frac12.

按一档曝光的定义，这正是减少一档。□\square

有限圆锥模型给出的比值为 [4N2(1+m)2+1]/[8N2(1+m)2+1][4N^2(1+m)^2+1]/[8N^2(1+m)^2+1]，略大于二分之一。 例如取 N=1,m=0N=1,m=0，改为 N=2N=\sqrt2 后的比值是 5/95/9；保持曝光量所需的时间 倍率是 9/59/5。当 N(1+m)N(1+m) 增大时，这两个比值分别趋近 1/21/2 和 22。

镜头实际透射率不等于 11，电影摄影常用 T-stop 把透射损失并入。若记 T 数为 NTN_T，可用

NT≈NTN_T\approx\frac{N}{\sqrt{T}}

理解其一阶关系。相同 f 数的镜头可能因镀膜、镜片数量和遮挡而有不同透射。宽谱下 TT 实际随波长变化，测得的 T 数还依赖光源及接收端的光谱加权。

复合镜头的入瞳和出瞳可以大小不同，位置也不在主平面上。此时应先由出瞳直径与 出瞳到像面的距离求像方锥角；在空气、无穷远和近轴条件下，光学不变量仍给出 sin⁡α≈1/(2N)\sin\alpha\approx1/(2N)，所以保留式 (1.3) 的 N−2N^{-2} 关系。不能把入瞳直径 直接除以任意一个镜片到传感器的距离来代替锥角。瞳的定义与一阶追迹见第十一章。

1.4 离轴照度、放大率与有效光圈

考虑一块平面出瞳，面积为 AA，它与平面像面的轴向距离为 zz。轴上像点到出瞳 中心的距离为 zz；离轴视线与光轴夹角为 θ\theta 时，距离变成 z/cos⁡θz/\cos\theta。 小出瞳近似下，其立体角由轴上的 A/z2A/z^2 变为 Acos⁡θ/(z/cos⁡θ)2A\cos\theta/(z/\cos\theta)^2，相差 cos⁡3θ\cos^3\theta；接收面再贡献一个入射 投影因子 cos⁡θ\cos\theta，于是得到 cos⁡4θ\cos^4\theta 的照度比例。这里假定瞳面固定、 辐亮度和透射率不随方向改变。真实广角镜头的出瞳畸变、机械截光和像素角度响应会 使暗角偏离该规律。

有限出瞳上的不同位置有不同距离和入射角，不能共用中心视线的四个余弦因子。 下面逐面积元积分，比较有限瞳结果与小瞳近似；首读时也可先看图，再接着读§1.5。

出瞳有限大时，cos⁴θ 还有多准？

把出瞳半径记为 aa，像点相对光轴的高度记为 h=ztan⁡θh=z\tan\theta；本小节的 hh 是长度，与光子能量中的 Planck 常数按上下文区分。这里的 θ\theta 是像点到 出瞳中心的连线与光轴的夹角，未必等于真实镜头的物方视场角。 瞳面点 (x,y)(x,y) 到像点的距离为 r=z2+(x−h)2+y2r=\sqrt{z^2+(x-h)^2+y^2}。两平面平行， 面积元的立体角为 z dA/r3z\,dA/r^3，接收面投影再乘 z/rz/r，所以

E(h)TL=∬x2+y2≤a2z2 dx dy[z2+(x−h)2+y2]2.(1.3a)\frac{E(h)}{TL} =\iint_{x^2+y^2\le a^2} \frac{z^2\,dx\,dy}{[z^2+(x-h)^2+y^2]^2}. \tag{1.3a}

此处 LL 是均匀、方向无关的辐亮度，TT 是固定能量透射率；所有瞳面点均可见。 a,z,ha,z,h 用同一长度单位时，积分对应投影立体角，E/(TL)E/(TL) 的单位为 sr。 不再把整个出瞳当作中心处的一个小面积，便可直接计算有限出瞳的照度。

另一路可以不用面网格。令 v=(x−h,y)\boldsymbol v=(x-h,y)，由 ∇⋅[v/(z2+∣v∣2)]=2z2/(z2+∣v∣2)2\nabla\cdot[\boldsymbol v/(z^2+|\boldsymbol v|^2)] =2z^2/(z^2+|\boldsymbol v|^2)^2，把面积分化为圆周积分。记 A=z2+h2+a2A=z^2+h^2+a^2、B=2ahB=2ah、C=z2+h2−a2C=z^2+h^2-a^2，则

E(h)TL=12∫02πa2−ahcos⁡φA−Bcos⁡φ dφ=π2(1−CA2−B2).(1.3b)\frac{E(h)}{TL} =\frac12\int_0^{2\pi}\frac{a^2-ah\cos\varphi}{A-B\cos\varphi}\,d\varphi =\frac\pi2\left(1-\frac{C}{\sqrt{A^2-B^2}}\right). \tag{1.3b}

第二步用到 a2−ahcos⁡φ=(A−Bcos⁡φ−C)/2a^2-ah\cos\varphi=(A-B\cos\varphi-C)/2，以及 ∫02π(A−Bcos⁡φ)−1dφ=2π/A2−B2\int_0^{2\pi}(A-B\cos\varphi)^{-1}d\varphi=2\pi/\sqrt{A^2-B^2}。 后者以半角代换 t=tan⁡(φ/2)t=\tan(\varphi/2) 即化为 2∫−∞∞[(A−B)+(A+B)t2]−1dt2\int_{-\infty}^{\infty}[(A-B)+(A+B)t^2]^{-1}dt；z>0z>0 保证 A>∣B∣A>|B|。 轴上结果与小出瞳极限分别为

E(0)TL=πa2z2+a2,lim⁡a/z→0E(ztan⁡θ)E(0)=cos⁡4θ.(1.3c)\frac{E(0)}{TL}=\frac{\pi a^2}{z^2+a^2},\qquad \lim_{a/z\to0}\frac{E(z\tan\theta)}{E(0)}=\cos^4\theta. \tag{1.3c}

从“小出瞳 · 45°”开始，依次查看三个几何因子，再选“扩大出瞳”。 两条照度曲线的间距显示有限孔径修正； 下方的积分误差是另一项数值检验，不要把它当成cos⁴θ近似偏差。

互动示意：cos⁴θ的三个几何因子与有限圆瞳积分

互动示意：平行出瞳与接收面相距60 mm，θ=45∘\theta=45^\circ、a/z=0.05a/z=0.05。 依次展开出瞳投影、距离反平方和接收面投影；cos⁴θ给出25%，有限圆瞳另由 面积分与圆周解析式核对。投影小图采用固定方向的平行投影。

调大 a/za/z 可以看出有限出瞳修正；趋近小瞳时，两条照度曲线靠拢。回放只展开 三个几何因子，不改变物理参数。页面分别报告积分误差和 cos⁴θ 的近似偏差； 它们都不包含瞳畸变、镜筒遮挡或像素角度响应。Gardner 的有限孔径分析也强调， 这些条件决定了简单余弦规律能否用于实际镜头。

近摄时，像距增大。对理想薄透镜，由成像公式有 s′=f(1+m)s'=f(1+m)；本节以 m≥0m\ge0 表示放大率的绝对值，后文光线追迹中的有符号放大率会另行声明。像方光锥由 D/s′D/s' 决定，因此对近似对称、瞳孔放大率接近 11 的镜头， 有效 f 数近似

Neff≈N(1+m).(1.4)N_\mathrm{eff}\approx N(1+m). \tag{1.4}

1:11:1 放大率给出 Neff≈2NN_\mathrm{eff}\approx2N，即像面照度约降为无穷远时的四分之一。 这也解释了微距镜头为什么有时在对焦近处时显示更大的工作 f 数。非对称镜头要用 出瞳几何求工作孔径，内对焦还会改变焦距与瞳的位置；相机是否显示这些变化取决于 具体系统。

1.5 曝光等价不等于图像等价

对静态均匀场景，光圈开大一档而曝光时间减半，可保持曝光量近似不变：

He∝tTN2.H_e\propto\frac{t T}{N^2}.

但两张图仍可能不同。光圈改变景深、像差和衍射；曝光时间改变运动模糊、闪烁采样和 暗电流积累。以运动物体为例，f/4f/4、1/2501/250 s 和 f/5.6f/5.6、1/1251/125 s 的像面 曝光量接近，后一张却积累约两倍的运动位移。曝光量相同只固定了光子预算中的一项， 还要分别检查空间模糊与时间平均。

用两个演示检查同一个曝光预算

先在曝光积累图中比较“开大光圈、缩短时间”和原曝光的结束光子数，再看运动轨迹。 等光子数并不要求轨迹长度相同。接着在离轴图中保持出瞳与接收面距离，逐渐减小瞳 半径：有限瞳积分应趋近cos⁴θ；这里趋近的是比值，绝对照度同时也在下降。

若换成实际广角镜头，除了照度曲线，还要取得瞳的位置与形变、机械截光和像素角度 响应。第十一章的截光与瞳成像会分别讨论这些因素。要把它们合成一条实际镜头的 暗角曲线，需先统一光线、透射与探测模型，再用测量核对。

练习

练习 1.1. 证明均匀辐亮度只占据半角 α\alpha 的圆锥时，接收面辐照度为 πLsin⁡2α\pi L\sin^2\alpha。

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练习 1.2. 同一镜头从 f/2f/2 收到 f/5.6f/5.6，保持曝光时间不变，忽略透射变化并 采用近轴模型。像面曝光量变为原来的多少？写成比例和档数。

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练习 1.3. 一个 6 μm6\ \mu\mathrm m 方形像素在 650 nm650\ \mathrm{nm} 单色光下接收 2.0×10−5 J m−22.0\times10^{-5}\ \mathrm{J\,m^{-2}} 的曝光量，量子效率为 60%60\%。计算平均 光子数和电子数。

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