第十四章：玻璃、树脂、萤石与低色散材料

一片正透镜可以把绿光聚到传感器上，却让红光、蓝光在前后不同位置聚焦。换材料 能够改变这几个焦点的间隔；加入一片负透镜，又能用相反的光焦度变化抵消部分色差。 玻璃、萤石和光学树脂的折射率、色散与可加工面形不同，适用的光学设计也不同。 材料选择还受到重量、温度特性和制造工艺的约束。

14.1 折射率与 Abbe 数

材料折射率写作 $n(\lambda)$。Fraunhofer 线常取 $\lambda_F=486.13$ nm、$\lambda_d=587.56$ nm、$\lambda_C=656.27$ nm。定义

$V_d$ 大表示在这组三波长上的相对色散较低。它把整条 $n(\lambda)$ 曲线压成一个 数，不能描述异常部分色散或红外/紫外行为。

部分色散比的一种定义为

这里 $g$ 线波长约为 435.83 nm。两种材料即使 $n_d$ 与 $V_d$ 接近，在这条较短 波长上的折射率也可能不同，残余蓝紫色色差就会不同。

在玻璃图中，普通玻璃的 $P_{gF}$ 与 $V_d$ 大致沿经验关系分布；偏离该关系的材料可 帮助校正第二级光谱。所谓 ED、UD、Super ED 是厂商材料类别，不是跨品牌统一阈值， 应查看玻璃图和具体设计作用。

目录中的多波长折射率常由 Sellmeier 型经验式给出：

$B_j,C_j$ 是材料拟合系数，$\lambda$ 的单位必须与 $C_j$ 的约定一致。该式是在目录 声明的波长和温度范围内对测量的拟合，不应跨吸收边或远离拟合区外推。光学设计程序 使用整条 $n(\lambda)$ 而不只用 $n_d,V_d$，因为两个材料可有相近 Abbe 数却有不同 部分色散。

图 14.1　横轴为Abbe数，纵轴为折射率；点位示意不同材料的组合范围。选材时还需 查阅厂商批次目录、部分色散、透射与热学数据。

14.2 消色差双胶合镜的条件

两片接触薄透镜光焦度为 $\Phi_1,\Phi_2$，总光焦度

一阶轴向色差近似与 $\Phi_i/V_i$ 成正比。使 $F,C$ 两线同焦的消色差条件为

联立求得

若 $V_1>V_2$ 且总光焦度为正，则低色散 crown 片为较强正光焦度，高色散 flint 片为 负光焦度。

例子 14.1（先分配光焦度，再检查色差）. 目标总光焦度 $\Phi=0.01\ \mathrm{mm}^{-1}$（焦距 100 mm），取 $V_1=60,V_2=30$。 代入式 (14.5)，正片光焦度为 $0.01\times60/(60-30)=0.02\ \mathrm{mm}^{-1}$， 负片为 $-0.01\times30/(60-30)=-0.01\ \mathrm{mm}^{-1}$，分别对应 50 mm 和 $-100$ mm 的焦距。再分别检查总光焦度与色差条件：

正负光焦度相减后保留所需的会聚能力，色散引起的变化则恰好抵消。两片的绝对 光焦度都不小于总光焦度，因此还需检查曲率、制造误差及其他像差。

先选“单片基准”，再选“N-BK7 + N-F2”，保持d线总焦距100 mm，比较F、C两线焦点间距； 随后只拖动光焦度配比，观察二者怎样再次分开。 相同玻璃的预设用于检验两片正负光焦度能否在固定总焦距下独立校色。

上例用整齐的 Abbe 数便于手算。互动则采用 SCHOTT N-BK7 与 N-F2 的目录 Sellmeier 系数，在 435.83--700 nm 范围计算折射率，并按接触薄透镜模型求焦点。 保持 d 线总焦距不变时，增加正片光焦度须同时 增加负片的绝对光焦度；“F/C 自动配比”按式 (14.5) 求解。换成两片相同玻璃后， 这个非零总光焦度的消色差解不存在。移动像面可比较不同谱线的几何离焦斑，但该斑 尚未计入衍射、厚度和其他像差；目录材料输入也不构成实际双胶合镜的完整处方。

若选出的两种材料 $V_1=V_2=V$，式 (14.4) 就变成 $(\Phi_1+\Phi_2)/V=\Phi/V=0$。因此这个接触薄片模型无法同时获得非零总光焦度与 F、C 两线消色差。材料的色散差异提供了这里所需的自由度；仅仅增加一片同类材料 并不能完成同样的任务。

一级消色差并不消除所有波长。令第 $i$ 片形状因子为 $K_i$，则薄片光焦度 $\Phi_i(\lambda)=K_i[n_i(\lambda)-1]$，从定义 (14.1) 得

再用定义 (14.2)，有

对满足式 (14.4) 的两片系统， $\Phi_{2,d}/V_2=-\Phi_{1,d}/V_1$，所以残余 $g-F$ 光焦度差为

F--C 色差抵消后，式 (14.5c) 中仍留下两种材料的部分色散比之差。选用异常部分 色散材料可以调整这一差值；仅凭 Abbe 数还不能确定剩余的蓝紫光焦点。

14.3 光学玻璃

光学玻璃是经过成分、退火和均匀性控制的非晶材料家族，不是单一物质。玻璃目录提供：

• $n_d,V_d$ 与多波长 Sellmeier 系数；
• 异常部分色散；
• 内透射、气泡和条纹等级；
• 密度、硬度、热膨胀、转变温度和化学耐久性；
• 折射率批次容差与应力双折射。

高折射率可用较小曲率获得同一光焦度，有利于减薄镜片或调整结构，但常伴随更高色散、 密度或反射。低色散材料提供校色自由度，承担多强的光焦度仍要结合曲率、厚度、 口径与其他像差一起决定。

14.4 萤石的色散与材料特性

摄影萤石镜片通常是人工生长的氟化钙晶体 CaF$_2$。它具有低折射率、很低色散和对 消除残余色差有用的异常部分色散，并有宽光谱透射。把凸萤石与高色散凹玻璃组合，可 比普通 crown/flint 组合更好地压低二级光谱，尤其适合长焦镜头。

萤石是晶体而非普通光学玻璃。大型高纯晶体生长、退火和抛光困难，材料较软，热性质 与玻璃不同。Canon 的技术资料记录了人工萤石从晶体生长到特殊抛光的制造要求。

萤石的色散特性需要通过光焦度分配发挥作用，成品像质还受表面误差、偏心、对焦和 其他像差影响。现代低色散玻璃在某些设计中可承担相近的校色作用，制造条件也不同。

14.5 树脂镜片与混合非球面

摄影中的树脂/塑料光学常见 PMMA、PC、COP、COC 等。与玻璃相比，其工程优势包括：

• 密度低；
• 注塑可一次形成复杂双面非球面、定位结构和阵列；
• 大批量重复成本低；
• 某些 COP/COC 具有低吸水、低双折射和良好可见光透射。

约束包括可选折射率--色散范围较窄、热膨胀较大、弹性模量较低、温度和湿度引起形状 或折射率变化，以及模压残余应力和双折射。材料配方差异很大，不能把所有树脂用一组 数值概括。

手机镜头大量使用注塑非球面树脂，因为复杂面形、重量和量产优势超过材料目录较窄的 代价。大型可换镜头有时使用玻璃基底上复制树脂非球面层，或在 PF 元件中使用专门 树脂。光学用途还需控制材料纯度、成型收缩、表面精度与残余应力。

14.6 温度、均匀性与实际像质

焦距对温度的变化同时来自镜片曲率热膨胀、间隔变化和 $dn/dT$。长焦、大口径和高精度镜头会用不同材料与镜筒结构做被动热补偿，或在对焦 控制中补偿。树脂的温度敏感性通常更强，但小型系统可通过短光路和软件标定管理。

对一片均匀热膨胀的薄透镜，可从制镜者公式直接估计量级。令材料线膨胀系数为 $\alpha_T$，空气折射率近似不变，两个曲率半径均按 $1+\alpha_T\Delta T$ 变化。 光焦度 $\Phi=(n-1)(1/R_1-1/R_2)$ 对温度求对数导数，得到

例如取示意参数 $n=1.50$、$\alpha_T=8\times10^{-6}\ \mathrm K^{-1}$、 $dn/dT=2\times10^{-6}\ \mathrm K^{-1}$，焦距的相对变化率为 $4\times10^{-6}\ \mathrm K^{-1}$。100 mm 薄透镜升温 20 K，焦距约增加 $8\ \mu\mathrm m$。这还未计入镜筒伸长、组间距和传感器位置变化，不能直接当作 整支镜头的焦点漂移，却能说明为什么热补偿需要同时考虑材料和结构。

材料内部折射率不均匀、应力双折射、气泡和条纹会使波前产生不可由理想面形解释的 误差。这些制造与环境因素会进入成品的波前和 MTF，材料目录之外还需检查实际样品。

镜片焦距漂移与镜筒伸长分开计算

令 $a=\alpha_T$、$b=dn/dT$，在给定温差内明确采用线性材料律 $n(T)=n_0+b\Delta T$、$R_i(T)=R_{i0}(1+a\Delta T)$。由薄制镜者公式直接得

若传感器相对薄透镜由长度为 $f_0$、线膨胀系数 $a_b$ 的镜筒定位，其位置为 $z_s(T)=f_0(1+a_b\Delta T)$，剩余离焦是 $f(T)-z_s(T)$。一阶展开为 $f_0[a-b/(n_0-1)-a_b]\Delta T$；镜片和镜筒即使都向后伸长，差值仍可能为正或负。

依次选“自由薄透镜”“镜筒也伸长”“一阶热补偿”，温差始终为20 K。 看镜片焦点与传感器面的位移分别是多少，再比较两者之差； 最后只把温差反号检查方向。 热补偿比较的是相对离焦，不是单独让某一部件完全不动。

例如升温20 K，镜片焦距约增加8 μm，而12 ppm/K镜筒令传感器后移24 μm，剩余 离焦约−16 μm。一阶热补偿需要配平镜片焦距变化与传感器位移。 本页还保留已有两种目录玻璃的部分色散残差核对：F/C同焦并不保证g线也同焦。 目录色散数据与本节指定的热参数分别使用；两种目录玻璃的热学性质没有代入此例。

练习