第三章：CMOS 像素、读出链与模数转换

上一章的像素把电子转成电压，RAW 文件却要保存整数。假设一个码值对应四个电子， $100$ 个电子就会落在黑电平上方约 25 码处；提高模拟增益后，同一信号可以占据更多 码级，也会更早到达 ADC 上限。浮动扩散节点、列电路和模数转换器的增益与噪声 共同决定量化精度，以及信号在哪一级达到上限。

3.1 一个可计算的读出模型

模数转换器（analog-to-digital converter, ADC）把电压变成数字码值，常以DN （digital number）记码值刻度。先采用线性、未饱和的单通道模型，黑电平校正前 数字输出写成

其中 $B$ 的单位为 DN，$g_c$ 是模拟增益取一时的电荷到码值转换系数，单位为 DN/e$^-$；$g_a>0$ 是 ADC 前的无量纲模拟增益。$R_1$ 表示增益前电压噪声按固定 ADC 电压刻度换算出的 DN 等效值，$R_2$ 表示增益后噪声的 DN 等效值，$Q$ 是 DN 单位的量化误差。因而右端各项单位相同。这里未再计入 ADC 后数字乘法。把所有 增益合并为 $g$，并折算到电子域，可写成

式 (3.2) 把各级读出与量化误差合并为输入等效噪声 $R_e$。改变模拟增益、读出速度、 温度或转换增益模式后，需要重新确定这一项。

图 3.1　噪声必须按其注入位置折算回输入电子域。增益之前的噪声会随信号一起 放大；增益之后的固定电压噪声可被前置模拟增益压低其输入等效值。

定义 3.1（系统增益）. 在线性区内，黑电平校正后的平均 DN 对平均信号电子数 的斜率称为系统增益：

有些资料把其倒数 $1/g$ 称为 conversion gain，单位 $e^-/\mathrm{DN}$。阅读规格时 必须连单位一起读，不能只看“gain”名称。

FD 复位本身还受电容热噪声约束。若电容 $C$ 在温度 $T$ 下经电阻性开关达到热平衡， 以平衡电压为零点，电容储能为 $CV^2/2$。经典能量均分给每个二次型自由度平均能量 $k_{\mathrm B}T/2$，于是 $C\mathbb E[V^2]/2=k_{\mathrm B}T/2$，得到

第二式把电压噪声通过 $N=CV/q$ 折算为电子。相关双采样能消去同一次复位在前后 样本中共有的随机偏置，但不能消去转移后新引入的源跟随器白噪声、列噪声和两次 采样之间不相关的噪声。式 (3.3) 因而是电容节点的起始模型，不是最终相机读噪公式。

3.2 列并行读出与 ADC

CMOS 像素通常按行选择，每列拥有采样和 ADC 资源。列并行结构允许许多列同时转换， 帧时间主要由行数、每行转换时间和附加消隐决定。常见单斜坡 ADC 把像素电压与线性 斜坡比较，并用计数器记录交叉时刻；其面积效率适合高列数，但转换时间随目标位数 增长。以理想单斜坡结构为例，令斜坡电压为 $V_\mathrm{lo}+st$，计数时钟频率为 $f_\mathrm{clk}$。输入电压 $V$ 与斜坡相等时，计数约为 $f_\mathrm{clk}(V-V_\mathrm{lo})/s$；一个计数对应电压 $s/f_\mathrm{clk}$。 若全量程逐码扫描，$b$ bit 转换最多需要约 $2^b$ 个时钟周期，因此在相同时钟下 增加两位会把最坏转换时间增到约四倍。实际电路可用粗细两段转换、更多并行资源或 其他 ADC 架构改变这项权衡。

定义 3.2（理想量化步长）. 满量程电压范围 $V_\mathrm{FS}$ 的 $b$ bit 均匀 ADC 具有步长

这里 $\Delta$ 使用电压单位。若输入相对于量化格足够平滑，舍入误差的电压表示可近似为 $Q_V\sim\operatorname{Uniform}(-\Delta/2,\Delta/2)$，于是

证明. 均值为零，并且

式 (3.1) 中的 $Q$ 则以 DN 表示：若一个 DN 对应电压 $\Delta$，有 $Q=Q_V/\Delta$， 所以相应方差为 $1/12$ DN$^2$。电压误差与码值误差要先换到同一尺度才能合成。 均匀的单次误差分布也不保证不同样本互不相关；把量化进一步近似为独立白噪声， 需要信号或抖动使量化格内的相位充分变化。信号几乎不跨码或出现确定性条纹时， 这个近似会失效。真实 ADC 还存在微分非线性、积分非线性和列间偏置。

先选“暗部：100 e⁻”，在上图看ADC前增益怎样细分输入电子刻度； 再选“高光：40,000 e⁻”，到下图看提前截顶。 两预设的位深不同，若只比较增益，请固定在一个预设内拖动“增益”，同时看噪声读数和白点位置。

演示把同一电荷分别送入两条链路：一条在 ADC 前增加增益，另一条先量化再作等倍 数字乘法。暗部阶梯统一换回电子尺度，因而数字乘法不会使已合并的码格重新分开。 选取高光输入时，还能看到前增益通道更早到达 ADC 上限。增益改变前后的满阱保持 相同；噪声读数只计算声明的读出与量化模型，未把光子噪声混入其中。

输入电荷控件用于取样：它移动竖线和读数，不改变两条响应曲线。上图放大暗部， 下图固定显示0…64000 e⁻的全范围；高光取样超出上图时，可在下图看到裁切位置。

单斜坡的扫描与锁存

把输入电压在转换期间保持不变，单斜坡ADC便可把电压差变成时间。令下端为零， 量程跨度为 $V_\mathrm{FS}>0$，计数时钟为 $f_\mathrm{clk}>0$， $L=2^b$；用 $L$ 个周期扫完量程时，

对 $0\le V<V_\mathrm{FS}$，比较器交叉时刻为 $t_\times=T_\mathrm{scan}V/V_\mathrm{FS}$。若约定在交叉时锁存已经过去的整周期数， 则输出码为 $c=\lfloor f_\mathrm{clk}t_\times\rfloor =\lfloor V/\Delta\rfloor$，其中 $\Delta=V_\mathrm{FS}/L$。 恰在时钟边沿交叉时取新计数；计数到最大码后保持，完成最后一个码区间再结束扫描。 负输入输出零，达到或超过满量程则输出 $L-1$。这些是本例明确采用的理想锁存与 截顶约定；真实电路还需处理比较器延迟和时钟边沿附近的亚稳态。

取8 bit、1 V量程和10 MHz时钟，完整扫描用256周期，即25.6 µs。输入0.375 V 在9.6 µs交叉，锁存96 DN；另一列若为0.750 V，须等到19.2 µs。前一列完成后， 公共斜坡仍需继续服务其他列。只把位深增加到10 bit，完整扫描变为102.4 µs， 电压步长则从约3.906 mV缩为约0.977 mV。

起始扫描只走完四分之一，A尚未交叉。 按“A交叉时刻”定位，再播放到结束，看A、B依次锁存而C越界。 最后在8 bit和10 bit预设间切换：同为10 MHz时，扫描时间变为四倍，不能只比较码数增加了多少。

演示同时用交叉时间公式和逐个电压区间搜索核对最终码。未越界时，把码重建为 $(c+1/2)\Delta$，误差不超过半个步长；输入越界后，不再用这个界限描述截顶损失。 这项扫描时间比较只适用于声明的单斜坡结构，整帧速度还包括行数、采样、复位与 数据传输；粗细两段或其他ADC架构可以改变时间关系。

3.3 位深、有效位数与电子刻度

假设线性可用范围从黑电平后 $0$ 到 $16\,000$ DN，系统增益为 $0.25\ \mathrm{DN}/e^-$，则数字白点对应

若像素线性满阱只有 $45\,000\ e^-$，则先发生电荷饱和；若满阱为 $80\,000\ e^-$，则当前增益下 ADC 先剪切。改变模拟增益会改变二者相对位置。

例子 3.3（14 bit 不等于 14 档）. 14 bit 提供 $16\,384$ 个码。若黑电平噪声 标准差为 $4$ DN，可分辨下端不可能按一个码计算；若可用白点为 $15\,000$ DN，按 一倍 rms 噪声作下端，数字域比值为 $3750$，即

若改用 SNR $=2$ 或固定图样噪声也计入，下端还会提高。位深只给出编码容器的理论 上限。

定义 3.4（有效位数）. 对满量程正弦测试，工程上常用信噪失真比换算 ADC 的 有效位数（ENOB）。它是 ADC 测试指标，不等于相机可记录的摄影动态范围；后者还受 光子噪声、像素饱和和图像处理影响。

这个换算来自理想均匀量化器。峰峰值为 $V_\mathrm{FS}$ 的正弦波，其均方信号为 $V_\mathrm{FS}^2/8$；量化误差均方为 $V_\mathrm{FS}^2/(12\cdot2^{2b})$。两者功率比为 $(3/2)2^{2b}$，因此理想量化 SNR 为 $6.0206b+1.7609$ dB。实测时把噪声和谐波失真一起计入分母，得到 SINAD，工程上 用

例如 SINAD 为 74 dB 时，ENOB 约为 12.0，即使输出字长是 14 bit。这里比较的是 满量程交流正弦与噪声失真功率；第四章的摄影动态范围比较饱和信号和低端噪声， 信号形态与判据不同。

贯穿算例：电子数与量化码值

固定参数给出 32,000 e⁻ 对应 1 V，故每电子 信号跨度为 31.25 μV。3101.02 e⁻ 对应约 0.09691 V；在增益一、黑电平零的 14 bit 均值流程中，系统增益为 $g=16383/32000\approx0.51197$ DN/e⁻，取整码为 $\operatorname{round}(3101.02g)=1588$ DN。

本例采用两端点相配的 16,384 个量化级，码格间距为输入跨度除以 16,383； 这是序章演示的明确映射。实际 ADC 的区间宽度和过载阈值须按其传输函数确定。

这里与§3.2的单斜坡采用不同的量化约定。若把输入跨度归一化为1，2 bit区间 量化按 $\lfloor4x\rfloor$ 截到0…3，区间宽为 $1/4$；端点量化按 $\operatorname{round}(3x)$，重建值为0、1/3、2/3、1。例如 $x=0.20$ 在前者输出0， 在后者输出1。比较码宽和误差时，应先选定传输规则，再使用 $2^b$ 或 $2^b-1$。

一个码格约对应 $1/g=1.953$ e⁻。采用高分辨率、无过载的均匀量化误差近似时， 输入等效量化 rms 约为 $1/(g\sqrt{12})=0.564$ e⁻，比本例 4 e⁻ 的读噪小。 1588是平均输入经取整得到的码。实际曝光逐次波动，取整后的码均值一般不等于 平均输入的取整码，分析时需区分这两个量。

3.4 模拟增益与输入等效噪声

把式 (3.1) 中信号归一化回输入端。若 $R_1,R_2$ 零均值、互不相关，并且它们在比较的 增益范围内具有不变的注入端方差，忽略量化误差后，读出噪声方差为

其中 $\sigma_{R_1,e}=\sigma_{R_1}/g_c$，两项都已折算到电子数的平方。

若两级噪声相关，还要加上 $2\operatorname{Cov}(R_1,R_2)/(g_a g_c^2)$；切换电路模式后，原来的方差参数也需重测。

提高 ADC 前模拟增益 $g_a$ 不改变已经存在的光子散粒噪声，也不改变增益前噪声 $R_1$；它能压低增益后噪声折算到输入电子域的贡献，并让微弱信号跨越更多 ADC 码。 当第二项已经很小后，继续提高增益的读噪收益趋近于零，高光却仍可能更早剪切。

例如，固定 ADC 刻度为 $100\ \mu\mathrm V/\mathrm{DN}$，像素转换增益为 $25\ \mu\mathrm V/e^-$，则 $g_c=0.25\ \mathrm{DN}/e^-$。模拟增益为一时， 一个 DN 对应四个电子，理想量化 rms 为 $4/\sqrt{12}\approx1.15\ e^-$；增益为四 时，一个 DN 对应一个电子，量化 rms 降到约 $0.289\ e^-$。若可用跨度固定为 16,000 DN，电子域剪切点却从 64,000 降到 16,000。这两个变化来自同一次增益调整。

这正是“ISO 不增加光”和“提高 ISO 有时能降低 RAW 输入等效读噪”可以同时成立的 原因。前者说的是光子与电子计数，后者说的是读出链中增益的位置。

3.5 黑电平、坏点与固定图样

相机通常保留光学黑区或遮光像素来估计黑电平。RAW 中的零码不必表示零电子； 负噪声摆动也需要由正的黑电平容纳。处理器减去每通道黑电平后才得到近似线性信号。

像素响应非均匀性（PRNU）可用乘性模型表示：

$B_i$ 是像素/列偏置，$\delta_i$ 是响应偏差。暗场能估计加性固定图样，均匀平场能 估计乘性固定图样。相机可能在 RAW 写入前已经做坏点替换、列校正或黑电平跟踪， 所以 RAW 不应被定义为“未经任何处理”。

暗场校正通常先把固定偏置视为可直接相减的常数。若列ADC的响应随输入电平弯曲， 同一电压偏置就不再对应固定的码差，需要进一步检查整段响应。

列偏置遇到非线性斜坡

若各列比较器前都有固定电压偏置，同一均匀输入也会给出不同的码。这是加性的 列图样，不是每次转换重新抽取的随机读噪。在线性斜坡下，输入端加一段固定电压 大致对应固定码差；斜坡弯曲后，这个码差还会随信号电平改变。

取归一化扫描时间 $\tau=t/T_\mathrm{scan}\in[0,1]$，声明一条端点不变的教学斜坡

其导数为 $V_\mathrm{FS}[1+a(1-2\tau)]\ge0.2V_\mathrm{FS}>0$，所以每个量程内 输入都只有一次交叉。$L=2^b$ 个等时间区间对应阈值 $v_k=V_\mathrm{FS}[k/L+a(k/L)(1-k/L)]$。以固定零点与满量程直线为参考， 理想步长仍为 $\Delta=V_\mathrm{FS}/L$，本例定义

第一式对相邻阈值作差，第二式直接减去理想阈值即可得到。这里的INL采用阈值与 固定端点参考，不是对码中心重新作最佳直线拟合；读实际规格时应核对参考约定。 所有码宽均为正，当前模型没有缺码。曲率为0.45、8 bit时，最大阈值INL为 $0.45\times256/4=28.8$ LSB。这里把曲率取得较大，便于观察码宽变化。

令 $F(v)$ 为这组阈值的量化输出，$P$ 为已知电压基座，$b_j$ 为列偏置。 对同一列精确减去无噪声暗场码，结果为 $F(P+V+b_j)-F(P+b_j)$。暂不量化、未截顶时，把连续码函数记为 $C(v)$， 小偏置造成的残差一阶为

它来自两处的一阶Taylor展开，要求 $P$、$P+V$ 及其偏置邻域都在量程内部。 线性斜坡的两个导数相同；非线性时一般不同。实际整码相减还叠加量化，因而即使 线性斜坡，任意非整码偏置也可能留下不超过量化尺度的残差。

先选“只看列偏置”，记录各列减暗场后的残差； 再固定偏置、只把“斜坡曲率 a”调到0.6。 看亮处残差怎样出现，并用选中列的局部码阶解释原因。 “减暗场仍有残差”是亮信号的综合例子，不能与前一预设直接当作单变量比较。

“电压偏置归零”使用已知生成参数，提供理想对照；“减暗场码”只做码域相减。 两者都不是从有限噪声暗场拟合出的校准算法。随机校准误差见第四章；比较器延迟、 亚稳态和列增益差需另加模型。

列码差的二维条带

只有一行码差时，很难判断它在画面中形成什么结构。下面把同一组12列电压偏置 横向重复4次，每列沿32行保持固定；场景可选均匀平场或纵向渐变。无偏置输出为 $Y^0_{y,j}=F(P+V_y)$，带偏置输出为 $Y_{y,j}=F(P+V_y+b_j)$，两者共用斜坡、 电压基座和显示灰阶，行、列下标均从0起。它们之差是码域误差，不是场景中的明暗细节。

校准器只接收信号为 $V_\mathrm{cal}$ 的均匀校准帧 $D_{y,j}$，按列求均值，再减去 指定参考列的均值。本例的第8、20、32、44列定义为零偏置，因而得到

校准后的误差为 $r_{y,j}=Y_{y,j}-Y^0_{y,j}-\widehat d_j$，单位DN。 无偏置图只用于评价，不进入上述估计。指定稳定参考列是本实验的条件；若所有列 都有未知偏置，单幅均匀图不能另外确定共同零点。

按“线性斜坡 · 整码偏置”与“弯曲斜坡”的顺序比较：场景和偏置不动，只改变斜坡。 先看误差图中的竖条，再看校准残差； 随后选“改用亮平场校准”，检查残差是否只在靠近校准亮度的位置减小。

线性斜坡、整码偏置且未截顶时，各列固定码差可以完全扣除。斜坡弯曲后，同一列 在不同亮度处会留下不同残差；改用亮平场校准改变的是校准信号电平，不能校正整条 非线性响应。把输入设为均匀且等于校准信号时，当前无噪声 模型的残差应为零，这也是可直接核对的端点。

这里报告 $\sqrt{\sum_{y,j}r_{y,j}^2/(48\times32)}$，没有先减残差均值。 误差图超出显示范围的像素另计，RMS仍使用原始码差。输入剪切也单独计数， 减列码差无法恢复剪切数据。有限张、含噪声校准帧的随机误差留给第四章；改变位深 时，本实验仍以16个理想LSB指定电压基座，列偏置幅度也按LSB给定，并非保持绝对 电压偏置不变。

3.6 读出速度的代价

提高帧率通常要求更短的行时间、更高 ADC 并行度、更高接口带宽或降低位深。电路 带宽增加会使积分噪声上升，较短转换时间也限制多重采样。具体传感器可通过更多列 ADC、堆栈逻辑和片上缓存缓解这种权衡，但收益取决于电路实现。比较高速与慢速 模式时，应核对同一传感器的位深、增益、采样方式和实测噪声。

更精确地说，若某节点的双边电压噪声功率谱密度为 $S_v(f)$，从该节点到采样值的 等效线性传递函数为 $H(f)$，则该节点贡献的方差为

相关双采样是这一积分的具体例子。若两次采样间隔为 $\tau$，每次采样具有相同的 孔径滤波响应 $H_0(f)$，差分的响应为

第二式由 $|1-e^{-i\phi}|^2=2-2\cos\phi$ 得到。在零频附近，差分因子趋于零， 解释了缓慢变化的共同偏置为何能被压低；较高频率的非相关噪声仍会进入结果。行时间 改变时，采样间隔和采样孔径也可能改变，读噪因此要结合整个频率响应计算。

采样间隔与差分频率响应

把两次采样的波形叠在一起，能直接看出差分为何有时抵消、有时相加。每次采样取 宽度 $w>0$ 的矩形时间平均，则 $|H_0(f)|=|\operatorname{sinc}(\pi fw)|$，此处 $\operatorname{sinc}(x)=\sin x/x$。若输入由互相独立、初相位均匀分布的有限条正弦 组成，第 $k$ 条的时间方差为 $v_k$，式 (3.6a) 给出

同一个结果也可从两次平均样本 $A,B$ 得到： $\operatorname{Var}(A-B)=2[\operatorname{Var}(A)-\operatorname{Cov}(A,B)]$。 两次采样若相隔整周期，该频率抵消；相隔半周期则反相，差分振幅达到单次平均的 两倍。CDS 因而是频率选择性的滤波，不能把所有噪声都按固定比例压低。

先比较“50 kHz · 半周期”和“50 kHz · 整周期”，观察两采样点的相位和差分RMS； 再选“窗口平均一个周期”，看单次平均也会抑制该频率。 回到混合谱后，零间隔相减虽能消掉共同噪声，却也没有完成两个不同时刻的信号取样。

50 kHz单频的周期为20 μs，半周期差分与整周期差分因而得到不同结果；有限采样 孔径还会先对每一次读数作平均。混合谱使用有限随机相位谱线，低频加权选项也有明确上下限；实际器件 需要测得的功率谱密度和电路带宽，再按式 (3.6) 积分。第2章的4T时序说明信号在 何时取样，这里补上两次取样之间的噪声相关性。

分开检验电荷、扫描阈值与列校准

读图时可按三个条件比较：先在读出链固定电子输入，只改变模拟或数字增益；再在 斜坡时序固定电压，观察交叉时刻与锁存边沿；最后保留固定列偏置，比较线性和弯曲 斜坡下的暗场码相减。三组实验分别检查电子到电压、时间到码、偏置到校准残差。

当前斜坡单调，因此码宽虽会变化，所有码仍能出现；列偏置则在各帧间保持固定。 比较器延迟、时钟抖动和亚稳态需要相应的时间分布及锁存规则，才能继续计算它们对 误差的影响。

练习