第十二章：衍射、PSF、OTF、MTF 与采样

把光圈逐渐收小，画面边缘可能先变清楚，随后连中央的细纹也开始变软。前一阶段常 来自像差减小，后一阶段则要计入衍射。即使理想镜头没有像差，点光源也会形成有限 大小的光斑。PSF描述点光源在像面上的强度分布，OTF与MTF描述不同空间频率的 传递。像素面积积分与离散采样还会进一步改变相机记录的细节。 第十一章的理想近轴交点给出名义像面，这里进一步计算该面上的点像强度分布。

12.1 从瞳函数到点扩散函数

来自同一单色物点的光，经瞳上各处到达同一像点时，相位决定它们相长还是相消。 用复数把振幅和相位合写，先加复振幅 $U$，再取模平方 $|U|^2$ 得强度。 瞳函数记录光波在瞳面各处的振幅与相位；像面复振幅由整个瞳面的传播贡献积分得到。

采用标量、单色、近轴模型，先考虑空气中理想薄透镜的后焦面成像，瞳平面与透镜 平面重合。瞳上的物理坐标记为 $\boldsymbol\xi$，与 $f,\lambda$ 使用同一长度单位。 去除理想聚焦的参考相位后，Fraunhofer 形式的复瞳函数写成

$A$ 表示振幅透射，$W$ 是相对于理想参考波面的光程差。理想无像差圆瞳内 $A=1,W=0$，瞳外为零。例如某处 $A=0.5$，该处透过强度是 $A=1$ 时的四分之一； 若只把 $W$ 改为 $\lambda/2$，则振幅大小不变，相位增加 $\pi$。 这里不用无量纲瞳坐标直接代入传播公式；若改用 $\boldsymbol\rho=\boldsymbol\xi/a_p$，其中 $a_p$ 为瞳半径，Fourier 自变量也 必须相应乘以 $a_p$。

像面复振幅与 $P$ 的 Fourier 变换成比例，用于非相干成像的强度点扩散函数（PSF）为

非零、有限面积且平方可积的瞳保证归一化分母有限且为正。 $\int h(\boldsymbol r)d^2\boldsymbol r=1$，所以 $h$ 的单位是像面面积的倒数。 式 (12.2) 的 Fourier 自变量 $\boldsymbol r/(\lambda f)$ 有长度倒数单位，正好与 物理瞳坐标配对。复合镜头需使用相应出瞳与传播尺度；近摄时后文的衍射尺度也要换成 工作 f 数。

普通摄影中不同物点通常按非相干强度相加。先把理想物像按几何放大率映射到像面 坐标，得到理想强度像 $o$；在局部空间不变条件下，实际强度像为卷积

离轴像差使 $h$ 随像高变化，整个画面不再由一个全局卷积描述；镜头 MTF 图因此要沿 像高给曲线。

这里的“非相干”指不同物点之间没有稳定的互相干项；来自同一个物点的各瞳区仍需 先加振幅。若物面由相干复振幅 $u$ 描述，局部模型应先算像面场 $u*g$，再取 $|u*g|^2$，其中 $g$ 是振幅点响应；一般不能把它写成 $|u|^2*h$。同一均匀圆瞳、 同一像面长度坐标下，相干振幅传递函数是缩放后的瞳函数，轴向截止为 $1/(2\lambda N)$；非相干强度OTF由瞳自相关得到，截止才是式 (12.8) 的 $1/(\lambda N)$。两种截止针对不同输入对象，不能直接比较为两倍细节收益。

若尚不熟悉 Fourier 变换，可先把 PSF 理解为点光源的强度像，阅读下面的 OTF/MTF 定义和式 (12.6) 的条纹计算，再看 §12.3--12.4 的尺度算例。复瞳自相关的证明与 双波长积分可在第二遍结合附录 A 复算；它们仍决定模型的适用条件。

12.2 OTF 与 MTF

定义 12.1. 光学传递函数（OTF）是 PSF 的 Fourier 变换：

其模为调制传递函数 $\mathrm{MTF}=|H|$，相位为相位传递函数。若 PSF 归一化，则 $H(0)=1$。

归一化把总通量除掉，只比较光在像面上怎样分布。因此 $H(0)=1$ 表示归一化后的 零频响应为一，并不表示镜头透过了全部入射光；透射损失仍按第一章的能量预算计算。

命题 12.2（非相干 OTF 是复瞳的归一化自相关）. 用物理瞳坐标 $\boldsymbol\xi$ 表示瞳函数，在 Fraunhofer 条件下

证明. 令 $\boldsymbol a=\lambda f\boldsymbol\nu$，并将瞳函数平移为 $P_{\boldsymbol a}(\boldsymbol\xi)=P(\boldsymbol\xi+\boldsymbol a)$。 由 Fourier 定义中的变量替换，

对式 (12.2) 作 Fourier 变换，再令 $\boldsymbol r=\lambda f\boldsymbol q$。 分子、分母中的面积因子 $(\lambda f)^2$ 抵消，故

用附录 A 的 Plancherel 恒等式把分子、分母分别换回瞳面，便得到式 (12.4)。 平方可积保证这些内积存在，也给出 $H(0)=1$。$\square$

无像差圆瞳中 $P$ 是圆盘指示函数，式 (12.4) 的分子就是两个平移圆盘的重叠面积； 有波像差时相位因子也进入相关积分，因而不能只看几何孔径面积。

由卷积定理，式 (12.3) 变成

取 $\bar o>0$、$0<m_o\le1$ 和正频率 $\nu>0$。非负正弦条纹 $o(x)=\bar o[1+m_o\cos(2\pi\nu x)]$ 经过本节归一化线性系统后，调制度变为 $m_i=|H(\nu)|m_o$。因此

MTF 衡量某频率的对比传递，不是单一“锐度”。低频影响大结构反差，高频影响细节与 边缘；相位反转、彩色通道差异和非线性锐化不能只由 MTF 模长完整描述。

12.3 理想圆孔的衍射极限

理想圆瞳产生 Airy 图样。第一暗环半径为

更完整的径向强度为

其中 $J_1$ 是一阶第一类 Bessel 函数。其第一个正零点为 $3.8317\ldots$，所以 $r_1=(3.8317/\pi)\lambda N=1.2197\ldots\lambda N$。

图 12.1　中心斑之外仍有环带能量；“Airy 直径”通常指第一暗环直径，不等于包含 全部能量的硬边圆盘。右图横轴为 $u=\pi r/(\lambda N)$，第一零点约为 3.8317； 左图将峰值归一化强度作平方根映射以增强弱环，右图按线性强度绘制；能量需对 线性强度积分。两图使用同一Airy函数，橙圈、橙虚线标出同一第一暗环。

第一暗环直径约为 $2.44\lambda N$。非相干圆孔 OTF 的截止频率为

令 $\rho=\nu/\nu_c$。对 $0\le\rho\le1$，理想圆孔 MTF 为

$\rho>1$ 时为零。式 (12.9) 可由两个单位圆盘平移 $2\rho$ 后的重叠面积除以圆盘 面积得到；这等价于瞳函数自相关。

具体地，单位圆的重叠区由两个圆弓形组成。每个扇形半角为 $\cos^{-1}\rho$， 两个扇形面积和为 $2\cos^{-1}\rho$；扣除两个三角形的总面积 $2\rho\sqrt{1-\rho^2}$，再除以圆面积 $\pi$，即得式 (12.9)。这里使用非相干 强度传递；相干照明的振幅传递模型及截止频率不同。

图 12.2　横轴使用传感器平面 lp/mm；波长固定时，f 数越大，截止频率越低。曲线 不含几何像差、遮挡、光谱加权或传感器采样。

例子 12.3（f/8 与 6 µm 像素）. 取 $\lambda=0.55\ \mu\mathrm m$、$N=8$。Airy 第一 暗环直径

约为 $6\ \mu\mathrm m$ 像素的 $1.79$ 倍。衍射截止频率

$1/(0.00055\times8)\approx227$ lp/mm，传感器 Nyquist 频率为 $1/(2\times0.006)=83.3$ lp/mm。截止频率高于 Nyquist 不表示采样处 MTF 仍为 $1$； 代入 $\rho=83.3/227=0.367$，衍射 MTF 约 $0.54$。再乘以满填充矩形像素在该频率 的 $2/\pi$，预采样响应约为 $0.54\times0.637\approx0.35$。因此 Airy 直径跨过 一个或两个像素，都没有形成突然失效的界线；各频率的对比度是连续下降的。

宽谱下还要先合成 OTF。若物体空间结构与光谱可分离，$w(\lambda)\ge0$ 汇总光源、 透射和通道响应，且 $\int w>0$，非相干各波长强度相加给出

这由加权 PSF 之和取 Fourier 变换得到。不同波长可能有不同离焦和横向偏移，OTF 因此带有不同相位；一般不能把各波长 MTF 的模直接平均。彩色物体的光谱随位置变化 时，还需按通道与局部光谱建模。

两条谱线的点像与传递函数

先把式 (12.9a) 限制为两条谱线。设 $a\in[0,1]$ 是 B 谱线占探测信号的份额， A 谱线占 $1-a$；这已包括光源、透射和探测通道的响应。两谱线具有相同的物体 空间结构，彼此按非相干强度相加。在同一像面坐标与空间频率上，

为单独看清空间相位，让 B 的归一化点像沿 $x$ 平移 $\delta$，不改变形状。 将 $x'=x-\delta$ 代入其 Fourier 积分，得到 $H_B(\nu_x,\nu_y)=H_{B,0}(\nu_x,\nu_y)\exp(-2\pi i\nu_x\delta)$。 若 $\nu_x$ 用 lp/mm，$\delta$ 就必须换成 mm。

为核对取模与求和的顺序，先令两个非相干分量都取550 nm、圆瞳f/8，并赋予相同权重； 在100 lp/mm处令 $\delta=5$ µm。 此时 $\nu_x\delta=1/2$，两个 OTF 符号相反，正确合成值为零；分别取模后平均却 保持单色 MTF。这里的相位是空间图样位移在 OTF 中的相位，不是两种颜色光场的 相干干涉。PSF 强度仍是两个非负点像的和。

起始两条谱线等权，B点像偏移5 μm。 先选“只看 A”“只看 B”辨认两条复OTF，再回等权； 随后选“同波长 · 相位抵消”，在100 lp/mm处看复向量相反。 最后只把偏移归零，比较强度叠加与复OTF相加的关系。

本例每条谱线使用均匀无像差圆瞳的 Airy 密度和圆盘重叠 OTF；横向位移以明确的 线性瞳相位表示。独立连续瞳积分检验点像读数，直接瞳重叠积分检验复 OTF。 不同波长必须先换到同一像面尺度；不能直接相加两张横坐标不同的采样数组。 合成式适用于本例声明的可分离光谱，不代替彩色场景、轴向色差或真实镜头处方。

复瞳、复振幅与传递函数

在 $\lambda=550\ \mathrm{nm}$、$N=8$ 时，$\lambda N=4.4\ \mu\mathrm m$， 第一暗环半径约为 $5.37\ \mu\mathrm m$，截止频率约为 $227.27$ lp/mm。 在半截止频率处，两个圆瞳的重叠面积占比为 $0.3910$，因而 OTF 与 MTF 都为 $0.3910$。这组读数可同时检验像面长度、频率尺度和强度归一化。

先选f/4与f/16，在固定窗口里比较孔径直径和点像展开范围； 再选“中心：同相相加”与“第一暗环：相互抵消”。 条带播放只展开当前像点的振幅和，黄色十字对应这个点； 整幅PSF和OTF始终是完整结果。

先在f/4与f/16间切换：固定50 mm焦距，孔径直径从12.50 mm变成3.125 mm； 同在550 nm下，第一暗环半径却从2.68 μm增至10.73 μm。图幅不随参数缩放，因而 孔径缩小与点像展开可以直接比较。波长改变时孔径不动，衍射尺度仍按 $\lambda N$ 改变。 这里的PSF按单位总通量比较分布；固定照明下实际收到多少光，仍需另按孔径面积计算。

随后选择“中心：同相相加”或“第一暗环：相互抵消”，再播放条带相加。瞳面被分成 32条，每条为同一像点贡献一个复数；蓝色折线连接累计过程，橙线给出当前总和。 橙色瞳带与局部滑块标出已经加到哪里，完整孔径本身没有变化。在中心，各条带同相 增长；第一暗环附近，完整和接近零。强度要对完整振幅取模平方，不能先把各条带的 强度相加。点像与OTF始终显示完整孔径，条带回放只解释一个像点的振幅形成。

拖动像面取样位置，只移动黄色十字、剖面竖线与该点相量，不改变孔径或整幅PSF。 纹理频率滑块则控制OTF探针；选择“f/8半截止”，可核对113.64 lp/mm处约0.3910 的响应。频率超过截止后，两圆瞳不再重叠，传递为零。

圆孔点像按连续Airy积分显示，归一化剖面保留独立FFT样点；界面将单位通量灰度图 的共同白点与用于比较宽度的归一化剖面分别注明。FFT对照采用128格瞳、4倍补零至 $512\times512$，像面间隔为 $\Delta x=\lambda N/4$，OTF频率间隔为 $\Delta\nu=\nu_c/128$。连续轮廓与数值网格分开绘制，面积误差、离散Parseval检验、 $\sum h\Delta x^2$、直接瞳自相关和连续圆盘参考仍在“独立真值与数值精度”中列出。 补零只能细化像面间隔，不能消除孔径边界的离散误差。

从点像到二维图案

点像向右拖尾时，图案中的细线和点阵也会受到同方向的模糊。在局部空间不变、非相干模型中， 每个输入位置都贡献一幅平移后的强度PSF，各贡献相加就是卷积。下面把同一组已知 点阵或细线放进这个模型，并在最后加入像素面积积分。

起始点阵经过无像差PSF和像素积分。 先选“无像差细线”，再选“彗差与细线”，只改变彗差，看拖尾方向怎样进入图3、4。 要研究像素大小，先固定同一PSF和图案，再单独改变像素边长； “离焦与大像素”是两项同时变化的综合状态。

横向坐标向右、纵向向下；细格间距固定为 $\Delta=1.1\ \mu\mathrm m$。从直径32格、 4倍补零的圆瞳传播结果中截取中心 $33\times33$ 格。令原离散PSF为 $h_{ab}$， 截取区为 $\mathcal W$，定义无量纲权重

$I$ 是归一化线性强度数组，图外延拓为零。界面单列截取前能量比例 $c$；重新归一 后 $\sum K_{ab}=1$，所以完整卷积满足 $\sum J=\sum I$。这由交换两个有限求和并平移 输入指标得到。只显示中心窗口时，窗口外的卷积能量仍会被裁掉，不能把显示窗口的 总和也强行归一回来。这里的 $c$ 是相对于离散全场的比例，不是连续圆瞳尾部的精确界。

FFT算法先把两数组补零到 $128\times128$，足以容纳 $48+33-1=80$ 格的完整线性 卷积，再裁取中心区域。蓝框处另以式 (12.9c) 逐项相乘求和，与FFT结果比较。 没有足够补零的周期卷积会把一侧越界内容绕回另一侧，本例不采用这种边界。

像素边长取 $b\Delta$，$b=1,2,3,4$。把细格内的强度视为常量，对每个 $b\times b$ 区域求平均，再取一个像素读数；画面仍按原来的像面范围显示。该积分对声明的细格 模型精确，对连续光学图像仍有离散误差。回放只移动检查卷积值的探针，完整图案 和PSF保持不变。

加入轴向色差以后，谱线应在同一像面比较

令三条谱线的焦面为 $z_j$，共同观察面为 $z$，离焦量 $\Delta_j=z-z_j$，长度用μm。 在均匀圆瞳、近轴标量模型中，忽略与强度无关的活塞相位，可定义 $P_j(\rho)=\exp(i\beta_j\rho^2)$，其中 $\beta_j=-\pi\Delta_j/(4N^2\lambda_j)$，$\lambda_j$ 此处也换算为μm。 这个符号由近轴传播相位随像面后移而减小得到，推导见§13.7。 圆瞳上等面积径向变量 $s=\rho^2$ 均匀分布，因此归一化轴上振幅为

零离焦按连续极限取1。本节均匀圆瞳只含纯离焦，反转离焦量会使复瞳共轭；圆对称性 又使PSF和实OTF保持不变。第十三章加入固定符号的球差后，焦点两侧则可能不同。 归一化为全平面单位能量后，轴上PSF密度为 $\pi|A_j(0)|^2/[4(\lambda_jN)^2]$，单位μm$^{-2}$。离轴剖面另用 $\int_0^1e^{i\beta_js}J_0(\pi r\sqrt{s}/(\lambda_jN))\,ds$ 的复振幅积分， 再取模平方；这与轴上闭式独立核对。

先比较“单绿合焦”和“三线 · 绿光焦面”，同一像面和f数下只增加另外两条谱线。 再只拖动“所选像面”，找合成点像与MTF各自较好的位置。 下方报告的最佳焦位属于指定目标，不意味着所有频率都在同一位置达到最大值。

OTF从移位圆瞳交集独立积分：若瞳的水平平移为 $a$，相位差为 $\beta_j[\rho_x^2+\rho_y^2-(\rho_x+a)^2-\rho_y^2] =-\beta_j(2a\rho_x+a^2)$，可先沿纵向积出交集高度，再对横向作一维求积。 实部可能为负，不能用每线MTF直接平均。本模型还用独立二维Cartesian交集求积 检验这条化简，并在零离焦时回到圆盘重叠解析式。

各谱线焦点在参数中直接给定；从玻璃材料推算焦点还需完整的镜片处方。观察面改变时， 最大轴上值与固定频率最大MTF可以落在不同位置；第十三章用同一实验说明对焦目标。

孔径直边与点光源的星芒

合焦点光源也会出现带方向的细长光芒。它们可由光阑边缘的衍射形成，与第15章沿 双反射路径形成的鬼影不同。沿一条较长直边的切向，复振幅积分会快速相消；沿法向 变化较慢，因此远离中心的衍射结构常沿边的法线展开。正 $n$ 边形每条边给出一对 相反方向：偶数边的对边平行，方向重合，通常数到 $n$ 条；奇数边没有这样的对边， 通常数到 $2n$ 条。有限强度阈值、波长与圆弧边缘会影响实际可见程度。

先在“七边形直边”与“八边形直边”间比较，把左图蓝边与右图标出的法向相连，再让孔径旋转15°。 随后从直边逐渐圆化，观察集中的芒线怎样减弱。 f数改变的是像面尺度，弱光显示数量级只改变显示范围，不会增加实际能量。

演示从规则多边形的径向边界连续过渡到圆形，边缘弯曲后，集中在几个法向的弱光 逐渐分散。孔径旋转会带着衍射图一起旋转；改变f数则在同一个μm坐标上改变尺度。 这里 $N=f/(2a)$ 以外接圆半径 $a$ 定义，形状变化时实际面积另列，不能把所有多边形 都当作相同通光面积。

第12章的归一化PSF积分为一，本面板沿用这一约定比较等总通量的形状。固定入射 照明时还需乘各孔径的通光量；第13章离轴猫眼面板则直接保留截光后的能量减少。 对数显示只改变弱结构的可见性，不能据其亮度读取相对曝光量。

左图按连续边界绘制。直边孔径的衍射由逐边积分求得，圆弧过渡用细线段逼近， 完全圆孔回到Bessel积分；因此孔径旋转不会被粗笛卡尔网格改成阶梯形。原FFT和 独立极坐标面积积分继续用于数值对照，边界公式与收敛方法见 来源注释。

12.4 像素孔径与采样 MTF

宽度等于节距 $p$ 的理想矩形像素先对光强作盒积分。沿一维的归一化孔径 MTF 为

在 Nyquist 频率 $\nu_N=1/(2p)$，该值为 $2/\pi\approx0.637$。若有效感光宽度小于 节距，孔径 MTF 下降较慢，却会增加高于 Nyquist 的能量和混叠风险；微透镜和电荷 扩散改变实际响应。

在线性、空间不变且各环节可依次用卷积表示的模型中，预采样系统 OTF 相乘：

起始f/8、6 μm像素、40 lp/mm。 先只比较f/4与f/16，看光学曲线与像素曲线谁改变； 再按“设为 Nyquist 频率”，移动像素节距检查竖线的位置。 Nyquist是采样边界，不能把它与圆瞳的光学截止频率看成同一条线。

这里的像素项描述采样之前的面积积分，离散取样本身不等同于再乘一个低通 MTF。 一维中，若取样前像的频谱为 $F_\mathrm{pre}$，间距 $p$ 的理想点采样给出重复频谱

该式由把连续像乘以间隔为 $p$ 的 Dirac 梳、再作 Fourier 变换得到。相邻频谱副本 重叠时就出现混叠；测得的某一低频成分可能同时包含原低频和折回的高频。式 (12.11) 因此止于预采样阶段。

去马赛克、空间变化降噪和锐化往往是非线性的，不能简单塞进同一个固定乘积。实测 JPEG MTF 甚至可能因过冲在某频率大于 $1$，这表示数字锐化，不表示镜头传递了超过 输入的光学调制度。

在上面的演示中，将频率固定为 40 lp/mm，只改变光圈，可观察理想无像差模型中 衍射 MTF 随收光圈而降低的过程。固定光圈后改变像素节距，像素孔径曲线和 Nyquist 标线也会变化。将光圈设为 $f/8$、像素节距设为 $6\ \mu$m，再点击 “设为 Nyquist 频率”，可复核例子 12.3 中约 $0.35$ 的预采样响应。

MTF 表示条纹调制度的传递比例。例如，在某个频率处系统 MTF 为 $0.40$， 输入调制度为 $0.80$，在线性条件下输出就是 $0.32$。实验中的条纹 使用同一像面物理宽度，并保留像素 OTF 的符号；MTF 数值本身仍只取模。高于 Nyquist 的连续条纹可以存在，但其离散样点要用第七章的频谱折返来解释。

真实镜头收光圈还会减轻某些像差，因而成像可能先改善，随后才受衍射限制。 本演示假设圆瞳无像差，只计算衍射与像素孔径的影响。比较真实镜头的不同光圈时， 还需考虑第十三章讨论的像场和对焦条件。

贯穿算例：在同一像面尺度上比较

对参数表的 550 nm、$f/8$、4 μm 满填充 像素，Airy 第一暗环直径约为 $2.44\lambda N=10.736$ μm，衍射截止频率约为 227.27 lp/mm，Nyquist 频率为 125 lp/mm。

在 40 lp/mm 处，式 (12.9) 的圆瞳衍射 MTF 约为 0.7771，式 (12.10) 的像素孔径 MTF 约为 0.9584，乘积为 0.7448。因而该频率处输入调制度 0.20 的小信号条纹， 预采样输出调制度约为 0.1490。可把上方演示设置为这组数值，检查两个因子及乘积。

125 lp/mm 处同样计算得约 $0.3368\times0.6366=0.2144$。这并未证明采样后的 图像有“21.44%的分辨率”：此处只给预采样响应，超过 Nyquist 的连续光学频谱 仍有一部分未被滤除，取样时必须另查混叠。

双折射低通滤镜把点像分成数份

第七章用Gaussian核观察平滑对混叠的影响。双折射型OLPF采用另一种机制：晶体将光分成 寻常光与非寻常光，使同一物点的像在像面上错开；元件的这项作用见 NDK的光学元件说明。 Nikon的D800/D800E说明，第3页 画出两个方向的分光与中间波片，说明四点分离，以及另一种组合怎样抵消分离。 这里把这种结构简化为等权、按非相干强度相加的副像；波片、偏振态、入射角和色散 对实际分光量的影响需用具体处方计算。

令 $I_0(x,y)$ 是分光前已形成的连续强度像，坐标使用同一像面长度单位。 先沿水平方向分成两个中心间隔为 $d\ge0$ 的副像，归一化平移核为

$\delta$ 是Dirac点质量；二维核的总质量为1，故它分配通量而不额外增加通量。 再沿垂直方向作相同分离，得到四点核

对每个平移项作Fourier变换，因子为 $\exp[-2\pi i(s_xd\nu_x+s_yd\nu_y)/2]$。分别把正、负偏移配对，直接得到

频率 $\nu_x,\nu_y$ 使用长度倒数单位，$d\nu_x,d\nu_y$ 无量纲。$d=0$ 时所有副像 重合，响应为1。余弦可以为负，表示强度条纹明暗反转半个周期；这是强度图像的 空间相位，不是把两束光的电场作相干干涉。MTF最后才对式 (12.12c) 取模。

例子 12.4（4 μm节距与一个节距的分离）. 取像素节距 $p=4$ μm、$d=p$， 满宽方形像素。沿水平方向，分光的第一个零点为 $\nu_x=1/(2d)=125$ lp/mm，恰落在该方向的Nyquist处。像素自身此时的OTF仍为 $2/\pi$，消去条纹的零点来自分光。沿对角线、保持频率模长也为125 lp/mm时， 两个频率分量各为 $125/\sqrt2$ lp/mm，四点分光OTF却约为0.1972， 乘像素OTF约0.6508后仍为0.1283；轴向的零点不是所有方向共同的截止圆。

再取水平频率162.5 lp/mm，即 $f_x=p\nu_x=0.65$ cycle/px。 分光OTF为 $\cos(0.65\pi)\approx-0.4540$，像素OTF为 $\operatorname{sinc}(0.65)\approx0.4363$，其中 $\operatorname{sinc}(u)=\sin(\pi u)/(\pi u)$、$\operatorname{sinc}(0)=1$。 预采样乘积为−0.1981：调制度0.8的输入变为约0.1585，并反转明暗。 取样后，这个高频与水平分量−0.35 cycle/px的另一条纹给出同样的样点， 因为两频率相差1 cycle/px；分光衰减了混叠幅度，却没有改变采样间距。

先比较“同一条纹 · 无分光”与“同一条纹 · 四点分光”，只改变副像排列，看连续条纹 和积分后样本的差别。再从“轴向Nyquist零点”切到“转向对角仍有响应”，只转动频率 向量。最后选“更高频仍可透过”，分别检查分光和像素两个因子的符号。

面板把长度写成像素节距的倍数。若像素积分宽度为 $wp$、$0\le w\le1$， 孔径因子为 $\operatorname{sinc}(wf_x)\operatorname{sinc}(wf_y)$，$w=0$ 取点采样极限。 它在分光之后相乘，离散采样最后发生；改变相位只平移条纹，不改变这两个响应函数。 图中的连续真值由已知条纹直接生成，等价低频条纹只核对样点歧义，并未从这些样点 恢复原连续图像。

有限分光核的余弦在零点之后会再次变大，因此它没有理想带限。第七章的Gaussian响应 则平滑衰减，形状与式 (12.12c) 不同。实际防混叠效果取决于分光方向和距离、镜头 PSF、光谱、像素孔径以及CFA各颜色格点；在轴向Nyquist设一个零点，仍不足以 消除所有方向和所有高频的混叠。更完整的偏振模型还需Jones或Stokes描述和材料色散； 这里的强度平移模型用于计算分光几何与采样的关系。

12.5 分辨率没有唯一阈值

Rayleigh 判据把两个等亮 Airy 点的间距取为一个斑点中心落在另一个第一暗环处，适合 特定点源辨别问题。摄影测试还会使用 MTF50、MTF20、极限分辨线对或视觉判断。它们 回答不同问题。

“镜头能解析 50 MP”没有说明画幅、空间频率、对比阈值和传感器处理，因而不是完整 规格。对 36 mm 宽、约 8256 像素的 45 MP 全画幅，横向 Nyquist 约 $8256/(2\times36)=114.7$ lp/mm；同样 45 MP 若在更小画幅，所需传感器平面频率更 高。镜头 MTF 必须以 lp/mm 和像高读取。

12.6 S/M 曲线与方向

离轴点处，可以沿画面中心到该点的径向，或沿与之垂直的切向描述纹理。厂商常用 S/M 或 S/T 标记两组方向，但图例有时描述条纹线条，有时描述对比度变化的方向： 一组线条若沿径向延伸，其空间频率向量便沿切向。读图时应先看厂商示意，把线条 朝向、扫描方向与频率方向对应起来。像散、彗差等会让两方向的响应分离，曲线接近 表示该条件下方向差异较小。

图 12.4　先从画面中心连到离轴点，确定该处的径向与切向；右侧两块纹理沿用相同 方向。条纹沿径向延伸时，明暗沿切向交替，频率向量也沿切向；另一块则相反。 箭头表示频率方向，短黑线标出条纹延伸方向。图中颜色只用于区分方向。

厂商 MTF 还可能是设计计算、白光加权计算或样本实测平均。频率 10 lp/mm 的高值 主要说明低频反差，不能替代 40、50 或更高 lp/mm 的细节传递。比较曲线前必须统一 这些口径。

练习