摄影成像科学答案手册

答案 1.1. 对半角 $\alpha$ 的均匀圆锥积分：

$$E=L\int_0^{2\pi}\int_0^\alpha \cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi =2\pi L\frac{\sin^2\alpha}{2} =\pi L\sin^2\alpha.$$

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答案 1.2. 曝光量比例为

$$\frac{H_{5.6}}{H_2}=\left(\frac2{5.6}\right)^2 \approx0.1276,$$

即约为原来的 $1/7.84$。档数为

$$2\log_2(5.6/2)\approx2.97,$$

即标称三档。

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答案 1.3. 像素面积 $A=36\times10^{-12}\ \mathrm m^2$，接收能量

$$AH=7.2\times10^{-16}\ \mathrm J.$$

650 nm 光子能量

$$\frac{hc}{\lambda}\approx3.056\times10^{-19}\ \mathrm J,$$

所以平均光子数约 $2356$，平均电子数约 $0.60\times2356=1414\ e^-$。

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答案 2.1. Poisson 稀疏化后

$$\mu_e=0.5\times10^4=5000\ e^-, \qquad \sigma_\mathrm{shot}=\sqrt{5000}\approx70.71\ e^-.$$

仅受散粒噪声限制时 SNR 也为 $\sqrt{5000}\approx70.71$。

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答案 2.2. 由 $K=q/C_\mathrm{FD}$，电容降为原来的 $1/4$，转换增益增为 4 倍。若允许电压摆幅 $\Delta V$ 不变，可容纳电子数 $N_{\max}=C_\mathrm{FD}\Delta V/q$，因此降为原来的 $1/4$。

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答案 2.3. 设两噪声为 $X,Y$。相关系数 $\rho=\operatorname{Cov}(X,Y)/\sigma^2$，故

$$\operatorname{Var}(X-Y) =\sigma^2+\sigma^2-2\operatorname{Cov}(X,Y) =2\sigma^2(1-\rho).$$

完全相关的共同噪声 $\rho=1$ 被差分消去；独立噪声 $\rho=0$ 的方差相加。

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答案 2.4. 由式 (2.3)，

$$\mathcal R =0.70\frac{(1.602176634\times10^{-19})(550\times10^{-9})} {(6.62607015\times10^{-34})(2.99792458\times10^8)} \approx0.3105\ \mathrm{A/W}.$$

吸收比例满足 $1-e^{-\alpha d}=0.90$，故

$$d=\frac{-\ln0.10}{\alpha}=\frac{\ln10}{\alpha}.$$

外量子效率还包含反射与载流子收集损失，不能反过来把 $0.70$ 直接当作硅吸收比例。

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答案 3.1. 对 12 bit ADC，

$$\Delta=\frac{1.2}{4096}\ \mathrm V \approx2.930\times10^{-4}\ \mathrm V =293.0\ \mu\mathrm V.$$

均匀量化噪声 rms 为 $\Delta/\sqrt{12}\approx84.6\ \mu\mathrm V$。

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答案 3.2. 可用数字跨度

$$15360-512=14848\ \mathrm{DN},$$

对应

$$14848/0.4=37120\ e^-.$$

满阱只有 $30000\ e^-$，因此在该简化模型中光电二极管线性满阱先限制。

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答案 3.3. 输入等效读噪

$$\sigma_r(a)=\sqrt{2^2+(8/a)^2}\ e^-.$$

依次得到

$$\begin{array}{c|cccc} a&1&2&4&8\\\hline \sigma_r[e^-]&8.246&4.472&2.828&2.236 \end{array}$$

极限为 $2\ e^-$，所以后续增益收益逐渐变小。

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答案 3.4. 取 $k_{\mathrm B}=1.380649\times10^{-23}$ J/K、 $q=1.602176634\times10^{-19}$ C：

$$\sigma_V=\sqrt{\frac{k_{\mathrm B}T}{C}} =\sqrt{\frac{1.380649\times10^{-23}\times300}{10^{-14}}} \approx6.436\times10^{-4}\ \mathrm V.$$

即约 $0.644$ mV。电子域为

$$\sigma_N=\frac{\sqrt{k_{\mathrm B}TC}}q \approx40.17\ e^-.$$

这是复位瞬间电容节点的热噪声。CDS 可消去同一次复位在前后样本中的共同分量，最终 读噪还含源跟随器、列电路、采样与 ADC 噪声，所以不能直接把 $40.17\ e^-$ 当成 CDS 后读噪。

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答案 3.5. 矩形平均的幅值保留率为 $\operatorname{sinc}(\pi\times50\,000\times2\times10^{-6})\approx0.983632$。 10 μs为半周期，差分RMS为 $2\times30\times0.983632\approx59.018$ μV； 20 μs为整周期，该单频项严格抵消。半周期的两样本反相，方差由负协方差增大。

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答案 4.1. 总方差 $100+4+3^2=113\ (e^-)^2$，故

$$\mathrm{SNR}=\frac{100}{\sqrt{113}}\approx9.407,$$ $$20\log_{10}(9.407)\approx19.47\ \mathrm{dB}.$$

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答案 4.2. 与 $s_Y^2=g\bar Y+\sigma_{R_Y}^2$ 比较，得到 $g=0.5\ \mathrm{DN}/e^-$、$\sigma_{R_Y}=3$ DN。输入等效读噪为

$$\sigma_r=3/0.5=6\ e^-.$$

这使用题设的暗电流可忽略条件，结果包括量化贡献；若暗场还含显著暗电流散粒噪声， 不能直接把整个截距都解释为读噪。

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答案 4.3. 对要求 SNR 为 $k$ 的下端 $\mu_k$，

$$\frac\mu{\sqrt{\mu+\sigma_r^2}}=k \quad\Rightarrow\quad \mu_k=\frac{k^2+\sqrt{k^4+4k^2\sigma_r^2}}2.$$

取 $\sigma_r=1.6$：$k=1$ 时 $\mu_1\approx2.176\ e^-$，动态范围

$$\log_2(32000/2.176)\approx13.844\ \text{档}.$$

$k=2$ 时 $\mu_2\approx5.774\ e^-$，动态范围约 $12.436$ 档。

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答案 4.4. 与 $v=gm+\sigma_{R_Y}^2$ 比较， $g=0.20\ \mathrm{DN}/e^-$。题设暗电流可忽略，含量化的数字域读噪 rms 为 $\sqrt4=2$ DN，故

$$\sigma_{r,e}=\frac2{0.20}=10\ e^-.$$

若 12,000 DN 已扣除黑电平且该点由像素线性容量限制，则

$$Q_\mathrm{FW}\approx\frac{12000}{0.20}=60\,000\ e^-.$$

若数字白点先剪切或相机在该处改变量程，这个换算不能称为光电二极管满阱。

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答案 4.5. 跨整套校准重复试验，偏差为 3 e⁻，随机方差为 $13/N+13/16$。$N=8$ 时方差 2.4375 e⁻²，随机标准差约 1.561 e⁻， $\mathrm{RMSE}=\sqrt{9+2.4375}\approx3.382$ e⁻。$N=32$ 时相应为 1.21875 e⁻²、1.104 e⁻、$\sqrt{10.21875}\approx3.197$ e⁻。 极限为 $\sqrt{9+13/16}\approx3.132$ e⁻，同时包含固定漂移与有限校准误差。

演示在 8192 套独立流程上估计这些统计量，有限样本不必恰好等于解析值。 若固定某一张主暗场，其已经实现的误差与漂移合成条件偏置；随目标帧重复拍摄的 随机项只剩 $13/N$。不能把跨主暗场的方差重新解释为同一主暗场每帧都重抽的噪声。

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答案 4.6. 目标单帧方差 $40+80+3^2=129$ e⁻²，暗场单帧方差89 e⁻²。 校正误差方差 $129/4+89/8=43.375$ e⁻²，标准差约6.586 e⁻。 两组目标独立而共用同一主暗场，协方差为 $89/8=11.125$ e⁻²； 目标张数趋于无穷时，跨整套采集的标准差下限为 $\sqrt{89/8}\approx3.335$ e⁻。 固定已经拍好的主暗场，其误差是当前像素的固定偏差，不是每次目标曝光都重新加入 一份独立校准噪声；重复整套采集才对应上述校准方差。

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答案 5.1. 使用

$$\mathrm{SNR}(a)=\frac{25}{\sqrt{25+2^2+8^2/a^2}}$$

得到

$$\begin{array}{c|cccc} a&1&2&4&8\\\hline \mathrm{SNR}&2.592&3.727&4.352&4.564 \end{array}$$

极限为 $25/\sqrt{29}=4.642$。$a=8$ 已很接近极限。

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答案 5.2. ISO 从 400 到 1600 是两档，按测光减少两档曝光使电子数变为 $1/4$。散粒噪声主导时 $\mathrm{SNR}=\sqrt\mu$，所以 SNR 变为 $\sqrt{1/4}=1/2$。

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答案 5.3. 两个基础 ISO 可能对应两个转换增益、模拟增益或曝光标定工作点。 HCG 往往降低输入等效读噪，却可能因 FD 电容较小而具有较低电压域容量；相机也可能 在两模式使用不同 ADC 映射。没有各模式的满阱、白点和中灰位置，就不能推出相同 高光余量。

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答案 6.1. 若行号为 $0,\ldots,2999$，首末行开始时间差

$$2999\times10\ \mu\mathrm s=29.99\ \mathrm{ms}.$$

位置差为

$$5000\ \mathrm{pixel/s}\times0.02999\ \mathrm s =149.95\ \mathrm{pixel}.$$

若规格把帧扫描时间定义为 3000 个完整行周期，会报 30.00 ms；两者只差一个行周期。

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答案 6.2. 电子滚动快门以电子方式依次启动/结束各行，故“电子”不保证同时性。 机械焦平面快门在高速时由前后帘形成狭缝扫过焦面，不同位置也在不同时刻曝光。两者 都可产生运动倾斜，具体扫描方向和时间由实现决定。

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答案 6.3. BSI 直接规定从减薄硅背面入光，不能单独推出读出速度；堆栈直接规定 像素层与逻辑层分开制造并互连，不能单独推出读噪；全局快门直接规定全像面曝光窗口 同时，不能单独推出动态范围或量子效率。

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答案 6.4. 角点 $z_+=75$ μm、$z_-=45$ μm。离焦按“传感器位置减最佳焦位” 定义，$K=0$ 时为 $-75,-45$ μm，$K=60$ μm 时变为 $-15,+15$ μm。 两方向的焦面分离仍为 $2A=30$ μm，传感器表面只有一个局部位置，无法同时落在 两条不同的焦面上。若其余条件仍固定，仅让 $A=0$，曲率匹配才可同时消去这里的 两方向离焦。关闭观测噪声便可把离散包围结果与已知焦面分开核对；实际装夹倾斜 则需要另作控制。

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答案 6.5. 行间跨度为 $360^\circ\times20\times0.020=144^\circ$。 单行平均角度为 $360^\circ\times20\times0.0005=3.6^\circ$；缩短到0.125 ms后为0.9°。 首末行起点差未变，所以144°不变，减少的是行内运动模糊。

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答案 6.6. PWM周期为10 ms，导通时辐照度为 $\bar E/0.25=4\bar E$。 首行窗口0—2 ms全部位于导通段，故曝光量为 $8\bar E\,\mathrm{ms}$； 末行窗口8—10 ms落在关断段，曝光量为零。只把每行曝光改为10 ms后， 每个窗口都包含一个完整周期，各行均得到 $10\bar E\,\mathrm{ms}$， 与起点和相位无关。

单闪的全幅共同窗口为 $[8,12]$ ms，长度4 ms。闪光位于8.5—9.5 ms时， 各行都收齐 $8E_\mathrm{ref}\,\mathrm{ms}$；环境光每行贡献 $0.2E_\mathrm{ref}\times12\,\mathrm{ms}=2.4E_\mathrm{ref}\,\mathrm{ms}$， 所以首末行总量均为 $10.4E_\mathrm{ref}\,\mathrm{ms}$。 改为11.5—12.5 ms后，首行只与闪光重叠0.5 ms，闪光贡献减半， 总量为 $(2.4+4)E_\mathrm{ref}\,\mathrm{ms}=6.4E_\mathrm{ref}\,\mathrm{ms}$； 末行窗口8—20 ms仍覆盖完整闪光，总量保持 $10.4E_\mathrm{ref}\,\mathrm{ms}$。

PWM比较固定的是每周期平均辐照度，改变占空比时须反向改变导通峰值； 单闪比较固定的是有限一次发光的总曝光量，改变持续时间时须相应改变峰值。 这两项归一化分别隔离了周期采样与单次区间重叠，不能把固定峰值时平均光量的变化 混入时序结论。

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答案 7.1. $p=3.76\ \mu$m $=0.00376$ mm，

$$\nu_N=\frac1{2p}=\frac1{0.00752}\approx132.98\ \mathrm{lp/mm}.$$

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答案 7.2. 输入已线性化、已减黑且通道尺度一致，以绿色为一，固定增益为

$$(w_R,w_G,w_B)=(1600/800,1,1600/640)=(2,1,2.5).$$

乘法同样乘噪声 rms，故白平衡后噪声为

$$(40,30,45)\ \mathrm{DN}.$$

若题给的是包含黑电平的存储均值，应先按各通道的黑电平校正。比如原数值均含 512 DN 偏置，则信号为 $(288,1088,128)$ DN，增益约为 $(3.778,1,8.5)$， 不能直接使用 $(2,1,2.5)$。题中的噪声已指减黑后的噪声，未另引入有限暗场误差。

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答案 7.3. 采样频率 $f_s=100$ cycles/mm。频率 70 与 $|70-100|=30$ cycles/mm 产生同一实正弦采样序列（相位/符号按正余弦约定变化）， 因此折回到 30 cycles/mm。

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答案 7.4. 展开平均值得 $\bar Y=(3/8)X_0+(1/2)X_1+(1/8)X_2$，故

$$\operatorname{Var}(\bar Y) =9\left[(3/8)^2+(1/2)^2+(1/8)^2\right] =117/32=3.65625\ \mathrm{DN}^2.$$

四个输出的边际方差为 $9,4.5,9,4.5$ DN²，误当独立会得到 $(9+4.5+9+4.5)/16=1.6875$ DN²，低估共享原始样本带来的相关性。 重复试验应围绕 3.65625 波动。标准差翻倍使所有协方差及上述两个方差均变为四倍， 分别为 14.625 与 6.75 DN²；插值权重和二者比值不变。

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答案 8.1. 八帧平均后标准差为单帧的 $1/\sqrt8\approx0.3536$，SNR 为单帧的 $\sqrt8\approx2.828$。以 SNR 倍率计，相当于 $\log_2\sqrt8=1.5$ 档。这是 SNR 比例的对数；若每帧曝光不变，总积分时间增加 八倍，相当于三档曝光时间。散粒噪声区的 SNR 只按曝光平方根增长，两种“档”所指 对象不同。

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答案 8.2. 一次长曝光方差

$$160+4^2=176,$$

噪声 $13.266\ e^-$、SNR $160/13.266=12.060$。分十六帧求和，方差

$$160+16\times4^2=416,$$

噪声 $20.396\ e^-$、SNR $7.845$。固定总曝光下，多次支付读噪使结果更差。

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答案 8.3. DCG 只把已经转移的同一电荷用不同 V/e$^-$ 读取。若光电二极管在 曝光中已满阱并丢失额外电子，两条增益链都没有这些电子。LOFIC 在主节点接近饱和时 把额外电子导入更大积分电容，因此改变了可保存的电荷上端，理想情况下能记录原本会 溢出的高光。

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答案 8.4. 长曝光增大后，更多观测达到白点。搜索为所有候选位移固定同一 未剪切支持，支持可能先不足以估计位移；融合也需按各支路所用位置剔除饱和样本。 本题固定观测的共同覆盖分别为 100%、约 88.64%、0%。

三路 RMSE 要在相同位置集合上计算，才能比较其误差；最后共同集合为空， 三项共同 RMSE 均无定义。已知位移支路有 66 个有效位置，仍可在图上显示这些数据， 所以“无法作三路共同评估”与“所有数据都失效”是两件事。曝光比 7 时的 RMSE 也只代表 78 个共同位置；其数值降低本身不足以证明全图重建更好。

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答案 8.5. 近景像移 $-80\times0.15/2=-6$ px，远景为−2 px，两者相差4 px。 准确位姿能给出每一深度的投影，却不能把两个不同深度都替换成同一个平面。 逐深度对照也只能读取移动图像实际看见的点；被前景挡住的背景纹理没有观测， 需其他帧或先验才能补全。纯旋转绕同一投影中心时，深度才会从映射中消去。

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答案 9.1. 若 $x_2=2^nx_1$，则

$$v(x_2)-v(x_1) =a[\log_2(2^nx_1)-\log_2x_1] =an.$$

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答案 9.2. 总范围 14 档，中灰上方 8 档时，下方剩 $14-8=6$ 档。实际少曝光两档使电子数为原来的 $1/4$，散粒噪声区 SNR 为原来的 $1/2$。

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答案 9.3. Log 重新分配明暗码字，使每档曝光获得较均匀精度；广色域规定 RGB 基色/坐标能表示的颜色范围；10 bit 规定每通道离散码字数量。三者分别对应传递函数、 颜色坐标和量化精度，不能互相替代。

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答案 9.4. 由式 (9.4)，

$$m=\frac{0.18}{(0.01+0.01)\ln2} \approx12.9843,$$ $$c=0.18\log_2(0.02)+1.20-12.9843\times0.01 \approx0.05426.$$

线性支在连接点给 $mx_t+c\approx0.18411$；对数支给 $0.18\log_2(0.02)+1.20\approx0.18411$，二者相同，且斜率也由 $m$ 的选取相同。

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答案 10.1. 有效跨度 $15000-1024=13976$，有效信号 $4500-1024=3476$，所以

$$x=3476/13976\approx0.2487.$$

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答案 10.2. 码率

$$3840\times2160\times12\times60 =5.971968\times10^9\ \mathrm{bit/s},$$

即约 $5.972$ Gbit/s 或 $5.971968\times10^9/8/10^6=746.496$ MB/s。

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答案 10.3. 白平衡建议通常可后改，因为马赛克各通道尚未不可逆混合，后期可重选 通道增益。模拟转换增益/曝光时间在拍摄时已经固定：它们决定了实际收集电子、读出 噪声和饱和，文件元数据不能事后重做曝光。具体 RAW 若已烘焙白平衡或 HDR，还需按其 数据契约判断。

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答案 10.4. 低字节与中间字节低 nibble 给

$$A=\mathtt{0x45}+2^8\mathtt{0x7} =\mathtt{0x745}.$$

中间字节高 nibble 是 $B$ 的低四位，第三字节是其高八位，所以

$$B=\mathtt{0xa}+2^4\mathtt{0x3c} =\mathtt{0x3ca}.$$

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答案 11.1. 由制镜者公式

$$\Phi=(1.5-1)\left(\frac1{100}-\frac1{-100}\right) =0.01\ \mathrm{mm}^{-1},$$

所以 $f=100$ mm。

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答案 11.2.

$$s'=\frac{fs}{s-f} =\frac{85\times1000}{915} \approx92.896\ \mathrm{mm}.$$

相对无穷远伸长 $92.896-85=7.896$ mm，横向放大率 $m=-s'/s\approx-0.09290$。

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答案 11.3.

$$\begin{pmatrix}1&d_2/n\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&d_1/n\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&(d_1+d_2)/n\\0&1\end{pmatrix} =T(d_1+d_2).$$

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答案 11.4. 行列式为

$$AD-BC=0.9\times1.0-20(-0.005)=1.$$

因此矩阵满足本章约化角坐标的行列式条件。本题首尾均为空气，由式 (11.6)，

$$f=-1/C=200\ \mathrm{mm},\qquad \ell_1=f(1-D)=0,\qquad \ell_2=f(1-A)=20\ \mathrm{mm}.$$

平行入射光从后表面顶点（本题的输出参考面）量起的后焦距为

$$\mathrm{BFD}=-A/C=180\ \mathrm{mm}.$$

也可写成 $\mathrm{BFD}=f-\ell_2$；像方主平面位于输出参考面之前 20 mm。

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答案 12.1. 用 $d=2.44\lambda N$、$\nu_c=1/(\lambda N)$，取 $\lambda=0.00055$ mm：

$$\begin{array}{c|ccc} N&4&8&16\\\hline d_\mathrm{Airy}[\mu\mathrm m]&5.368&10.736&21.472\\ \nu_c[\mathrm{lp/mm}]&454.55&227.27&113.64 \end{array}$$

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答案 12.2. $p=0.004$ mm，

$$\nu_N=\frac1{2p}=125\ \mathrm{lp/mm}.$$

矩形满填充像素在 Nyquist 处

$$\left|\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}\right| =\frac2\pi\approx0.6366.$$

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答案 12.3. 乘积为

$$0.60\times0.85\times0.64=0.3264.$$

锐化是带频率增益、可能非线性的处理，可造成过冲和 MTF 大于光学乘积；内容自适应 降噪/去马赛克也不是固定空间不变卷积，所以不能由三个预采样 MTF 直接预测。

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答案 12.4. 式 (12.4) 中两矩形瞳的相对位移为 $\delta=\lambda f\nu$。当 $|\delta|<D$ 时，它们的重叠区间长度为 $D-|\delta|$；当 $|\delta|\ge D$ 时没有重叠。零频重叠长度为 $D$，故

$$H(\nu)= \begin{cases} 1-\dfrac{|\lambda f\nu|}{D},&|\lambda f\nu|<D,\\ 0,&|\lambda f\nu|\ge D. \end{cases}$$

截止频率为 $\nu_c=D/(\lambda f)$。若一维孔径比记为 $N=f/D$，则 $\nu_c=1/(\lambda N)$。

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答案 12.5. 五边形给10个法向射线方向，六边形因平行对边重合给6个。 孔径和点像一起旋转15°。同形孔径的特征长度按 $\lambda N$ 缩放，f数加倍使 衍射结构长度加倍；等总通量下，二维峰值变为四分之一。固定入射照明时还须另计 孔径面积和总通量改变，不能把这个单位通量结论直接当曝光比。

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答案 12.6. $f_x=p\nu_x=1.25$、$f_y=0$，分光与像素两项分别为

$$H_4=\cos(1.25\pi)=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad H_\mathrm{pixel}=\frac{\sin(1.25\pi)}{1.25\pi} =-\frac{2\sqrt2}{5\pi}.$$

所以预采样OTF为 $2/(5\pi)\approx0.127324$，MTF取其模仍为0.127324， 输出调制度为 $0.8\times2/(5\pi)\approx0.101859$。两个负因子各使条纹反转 半个周期，叠加为整周期，故乘积为正。整数像素位置处，频率1.25与0.25相差 1 cycle/px，因此同一相位、同一有符号振幅的条纹给出相同样点。 分光余弦在0.5 cycle/px处为零，却在之后再次恢复；有限副像不是理想带限。

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答案 13.1. 保持像高，以原孔径半径作为固定归一化尺度，则收光圈后的边缘对应 $\rho\mapsto\rho/2$。球差项 $\rho^4$ 变为 $1/16$；彗差项 $h\rho^3$ 变为 $1/8$。

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答案 13.2. 原始一个长度单位被展开为校正后的 $1.2$ 个长度单位，空间频率按 倒数缩放， 所以等效上限约

$$100/1.2=83.33\ \mathrm{lp/mm}.$$

插值和局部方向还会进一步改变实际 MTF。

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答案 13.3. 固定相机与平面测试靶，在中心精确对焦后测全场；随后不改变机位， 对边缘区域单独做一系列微小前后对焦并寻找其最大 MTF。若边缘重新对焦后显著恢复， 主要问题包含场曲；若最佳焦点处仍低且呈强方向性/彗形，存在局部像差。测试还应检查 靶面与传感器平行，避免把倾斜当场曲。

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答案 13.4. 代入式 (13.3)：

$$S_{0,\lambda/20} =\exp[-(2\pi/20)^2]\approx0.9060,$$ $$S_{0,\lambda/10} =\exp[-(2\pi/10)^2]\approx0.6738.$$

Maréchal 关系来自小相位误差近似；大像差和强结构化相位误差可能偏离。比较还必须 使用相同瞳形、波长、权重以及相同的 piston/tilt/defocus 去除规则；只有所取峰值位于参考原点时， 这些轴上近似值才同时近似本书约定的 Strehl 峰值比。

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答案 13.5. 纯离焦的轴上比为 $S_0=[\sin(2\pi\sqrt3c)/(2\pi\sqrt3c)]^2$，$c=0.12$ 时约 0.54617； 指数近似为 $\exp[-(2\pi c)^2]\approx0.56638$，高约 0.02021。 两者相近而不相等，不能把近似曲线当作精确传播真值。

纯彗差反号使像面点像关于原点镜像。其强度 PSF 为实函数，所以固定方向 OTF 变为复共轭，实部不变、虚部反号，MTF 模长不变；原点保持原点，故 $S_0$ 也不变。 虚部为零处没有可观察的符号差别。演示的轴上积分始终在原点取值，既没有寻找 偏移峰值，也没有重新对焦；相同轴上比不能确定峰值的位置或像差形状。

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答案 13.6. 每个圆贡献一个120°扇形减去相应三角形，交集面积为 $2\pi/3-\sqrt3/2$，占整圆比例 $2/3-\sqrt3/(2\pi)\approx0.391002$。完整圆孔通量设为一、入射照明固定时， 全像面点像积分应为0.391002；离散计算还会有边界近似误差。逐图按峰值拉伸会 改变共同强度标尺，使能量损失与点像形状的比较混在一起。

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答案 13.7. 以参考瞳面为z=0，入射斜率为 $u=-y_0/L$；平板前表面在 $z_p$，折射斜率为 $u_g=u\tan r/\tan i$。两界面处的高度是 $y_1=y_0+z_pu$、$y_2=y_1+tu_g$。出射重新取斜率 $u$，故 $z_f=z_p+t-y_2/u=L+t(1-\tan r/\tan i)$。由 $\sin r=\sin i/n$， 有 $\tan r/\tan i=[n^2+(n^2-1)u^2]^{-1/2}$。在轴上以连续极限得到 $\Delta_0=t(1-1/n)$。

边缘 $|u|=1/(2N)=1/2.8$，所以近轴后移0.68421 mm，边缘后移约0.72937 mm， 相差45.16 μm。厚度减半使每条光线的后移量减半；固定归一化瞳高、固定权重时， 最优像面后移和最小子午RMS也都减半。收光圈只减小 $|u|$，不改变近轴极限； $\Delta(i)-\Delta_0$ 的首项随 $u^2$ 缩小，近轴焦面处的横向残差首项随 $u^3$ 缩小。重新优化像面后，残差仍需按同一组光线计算。

本例使用81个等间距、等权子午瞳高，RMS是落点相对其均值的标准差；它没有圆瞳 面积权重、二维强度分布或复相位。求衍射PSF与Strehl还需波前、瞳振幅、波长及 传播，并声明像面和峰值位置准则。

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答案 14.1.

$$V_d=\frac{1.60-1}{1.615-1.593} =\frac{0.60}{0.022} \approx27.27.$$

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答案 14.2. 总光焦度 $\Phi=1/200=0.005\ \mathrm{mm}^{-1}$。由式 (14.5)

$$\Phi_1=0.005\frac{70}{70-35}=0.010, \qquad \Phi_2=-0.005\frac{35}{35}=-0.005.$$

故 $f_1=100$ mm、$f_2=-200$ mm。

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答案 14.3. 优势示例：树脂可注塑复杂非球面并集成定位结构，低重量且适合大 批量。代价示例：热膨胀和折射率温度系数通常比玻璃敏感，可能导致焦点漂移。MTF 取决于面形误差、材料均匀性、光焦度位置和整套设计；高质量模具与补偿设计可以让 树脂元件承担关键校差作用，因此材料类别本身不决定低 MTF。

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答案 14.4. 一级色差项为

$$\frac{\Phi_1}{V_1}+\frac{\Phi_2}{V_2} =\frac{0.020}{60}-\frac{0.010}{30}=0,$$

故满足 F--C 消色差条件。由式 (14.5c)，

$$\Delta\Phi_{gF} =\frac{0.020}{60}(0.64-0.61) =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{mm}^{-1}.$$

它非零，说明两线同焦后仍有由部分色散差造成的二级光谱。

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答案 14.5. 焦距一阶相对变化率为 $8-2/(1.5-1)=4$ ppm/K，所以 20 K 后焦距约增加 8 μm。 12 ppm/K 镜筒令传感器后移 24 μm，剩余离焦约 $8-24=-16$ μm。 因此一阶补偿的镜筒系数为 4 ppm/K。

有限温差公式给出 $f(T)=100(1+8\times10^{-6}\times20)/(1+4\times10^{-6}\times20)$ mm， 焦距实际增加约 7.99936 μm。改用 4 ppm/K 镜筒后传感器后移 8 μm， 残余约 $-0.00064$ μm；一阶补偿消去线性项，保留了该模型的高阶余项。 这个余项由给定热参数的公式算出；实际温漂还取决于参数精度和测量不确定度。

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答案 15.1.

$$R=\left(\frac{1-1.8}{1+1.8}\right)^2 =\left(\frac{-0.8}{2.8}\right)^2 \approx0.08163.$$

即每个未镀膜正入射表面约反射 $8.16\%$。

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答案 15.2.

$$d=\frac{\lambda_0}{4n_c} =\frac{550}{4\times1.38}\ \mathrm{nm} \approx99.64\ \mathrm{nm}.$$

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答案 15.3. 衍射元件 $f(\lambda)\propto1/\lambda$，所以波长越长焦距越短、 正光焦度越强。普通正折射透镜通常 $n$ 随波长增加而下降，蓝光折射更强、焦距更短。 二者对红蓝焦点的排序相反，组合后可抵消一级轴向色差。

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答案 15.4. 由式 (15.3a)，

$$\eta_1(4)= \left[\frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}\right]^2 \approx0.8106,$$ $$\eta_1(8)= \left[\frac{\sin(\pi/8)}{\pi/8}\right]^2 \approx0.9496.$$

真实值还会因非设计波长、斜入射、台阶高度/宽度误差、材料吸收、Fresnel 反射、 环带边缘散射和能量进入其他级次而降低。

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答案 15.5. $k=-1$ 时圆锥项为 $r^2/(2R)$，故 $z=144/100-10^{-6}\times12^4=1.419264$ mm， $z'=12/50-4\times10^{-6}\times12^3=0.233088$，斜率无量纲。 基准球面为 $50-\sqrt{2500-144}\approx1.461356$ mm，故矢高差约 $-42.092$ μm。把 $A_4$ 改为零后，矢高增加 20.736 μm、斜率增加 0.006912， 但 $k=-1$ 的曲面仍不是球面。

有限差分应在声明步长误差内逼近解析斜率。要算像差或 MTF，还需折射率、其他 各面与间距、光阑、物距及传播/波前模型；单个表面的轮廓没有提供这些数据。

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答案 16.1.

$$\Phi_1=0.01,\qquad \Phi_2=-0.005\ \mathrm{mm}^{-1},$$ $$\Phi=0.01-0.005-20(0.01)(-0.005) =0.006\ \mathrm{mm}^{-1}.$$

因此等效焦距约 $166.67$ mm。

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答案 16.2.

$$H=\frac{50^2}{8\times0.03}+50 =10466.67\ \mathrm{mm} \approx10.467\ \mathrm m.$$

对焦 $s_0=10000$ mm：

$$s_N=\frac{(10466.6667-50)\times10000}{10466.6667+10000-100} \approx5114.57\ \mathrm{mm},$$ $$s_F=\frac{(10466.6667-50)\times10000}{10466.6667-10000} \approx223214.29\ \mathrm{mm}.$$

即约 $5.11$ m 到 $223.2$ m。计算时保留超焦距的未舍入值；远界分母接近零时， 过早舍入会被放大。把两端代回式 (16.2)，均得到约 0.03 mm 的弥散圈。

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答案 16.3.

$$\theta=0.01^\circ\frac\pi{180} \approx1.7453\times10^{-4}\ \mathrm{rad}.$$

像面位移

$$\Delta x=200\ \mathrm{mm}\times1.7453\times10^{-4} \approx0.03491\ \mathrm{mm}=34.91\ \mu\mathrm m.$$

对 $4\ \mu$m 像素约为 $8.73$ 像素。

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答案 16.4. $\Delta n=0.09022$，故 $\Phi_s=0.09022/25.2\approx0.00358016$ mm$^{-1}$，即+3.58016 D。 交换材料而保持曲率后，$\Delta n$ 变号，光焦度变为−3.58016 D。 Tessar四片三组有六个空气—玻璃界面、一个胶合界面；双高斯六片四组分别为 八个、两个；本例Sonnar六片三组分别为六个、三个。一般把 $N$ 片玻璃分为 $G$ 个空气分隔组时，组外有 $2G$ 个空气—玻璃界面，组内有 $N-G$ 个胶合界面。 这里按轴向排列计数，不把片边、胶层厚度或镀膜层分别计为镜片界面。

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答案 16.5. 匀速OTF为 $\sin(\pi\sqrt3/2)/(\pi\sqrt3/2)\approx0.150173$，两位置停留为 $\cos(\pi/2)=0$。共同加上3 px使OTF乘 $e^{-2\pi i(0.125)(3)}=e^{-3\pi i/4}$，模值不变。一个单一RMS不能确定完整OTF。

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答案 17.1.

$$\nu_N=\frac{6000}{2\times36}=83.33\ \mathrm{lp/mm}.$$

乘积模型给

$$0.3\times0.637=0.1911.$$

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答案 17.2. picture height 为 24 mm，

$$45\ \mathrm{lp/mm}\times24\ \mathrm{mm} =1080\ \mathrm{lp/ph}.$$

每线对含一黑一白两条 line width，故

$$\mathrm{LW/PH}=2\times1080=2160.$$

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答案 17.3. 至少缺少：空间频率/阈值如何换算成 100 MP；画幅与像高；光圈、 焦距和物距；RAW 或 JPEG 的锐化/降噪参数；传感器像素节距、OLPF 与去马赛克；中心 之外的边缘表现；对焦包围；测试靶自身 MTF；单样品还是多样品；是否实测或外推。 只给中心锐化 JPEG 不能把系统响应唯一归因于镜头。

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答案 17.4. Gaussian LSF 的

$$\nu_{50} =\frac{\sqrt{\ln2}}{\sqrt2\pi(0.70)} \approx0.2677\ \mathrm{cycles/pixel}.$$

$p=3.76\ \mu\mathrm m=0.00376$ mm，故

$$\nu_{50}\approx\frac{0.2677}{0.00376} =71.20\ \mathrm{lp/mm}.$$

该 ESF 同时包含靶边缘、镜头、像素孔径、CFA/去马赛克和所用线性处理；未对这些 环节作可验证反卷积并传播不确定度前，它只能称为该测试系统的 MTF50。

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答案 17.5. 可记录为：在 550 nm、像面曝光量 $10^{-4}$ J/m² 下，4 μm 满填充单色像素、QE 0.70，平均信号为 3101.02 e⁻。暗电流与 PRNU 取零、 读噪 4 e⁻ rms 的单像素量化前时间 SNR 为 55.54；32,000 e⁻ 容量、增益一、 黑电平零、14 bit 白点 16,383 时，均值流程码为 1588 DN。远焦无像差圆瞳 $f/8$、无 OLPF 和运动的局部线性预采样 MTF，在 40 lp/mm 处为 $0.7771\times0.9584\approx0.7448$，输入调制度 0.20 得输出约 0.1490。

曝光减半后平均信号为 1550.51 e⁻，SNR 约为 39.17；增益一的均值流程码为 794，解码后乘二得到 1588 的同等线性均值，同时也放大噪声，SNR 仍为 39.17。 一份器材实测至少还需 RAW/ROI、照明与曝光记录、黑白电平与增益标定、像高和 方向、焦位、靶与装夹、重复拍摄及显影参数。模型输入和解析响应不能替代这些观测。

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答案 17.6. 该频率 $\cos(2\pi\times0.25)=0$，增益为1.8。 输出噪声RMS为 $0.015\sqrt{1.8^2+0.8^2/2}\approx0.028302$。 显示裁切是非线性操作，会改变过冲与噪声分布；保留未裁切数组才能直接检验线性核 的频率增益和独立噪声预算。可另报告裁切比例，说明实际显示受到的影响。

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答案 18.1. 入瞳为 $400/4=100$ mm，实际光阑为 $100/1.5\approx66.67$ mm。 空前部模型的开口下界为 $100+80\tan8^\circ\approx111.243$ mm。圆柱毛坯质量为 $2.5\pi(111.243)^2(10)/4000\approx242.98$ g；只包含这一个实心圆柱，未扣曲面减材， 也未加其他镜片、机构和镜筒，不能报告成整镜重量。

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答案 18.2. 组合为200 mm f/8，几何曝光量变为四分之一，需补2档。 $\delta=20$ mm、$M=2$，负组焦距为−40 mm，位置为80 mm，新剩余像程40 mm， 新像面位于主薄镜后120 mm。矩阵后焦距从负组量起为40 mm。

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答案 18.3. 按式 (18.6)--(18.7) 得

新增延长量	倍率绝对值	物距	像距	传感器到物体	有效f数
25 mm	0.5	150 mm	75 mm	225 mm	6
50 mm	1	100 mm	100 mm	200 mm	8
100 mm	2	75 mm	150 mm	225 mm	12

传感器到物体的距离在1∶1处最小。这些距离采用固定、零厚度、对称薄镜，实际 内对焦镜头还要查主平面、焦距和瞳；物距也不直接等于前端工作距离。

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答案 18.4. 原倍率−0.2；交换共轭并倒转后为−5，焦距仍为50 mm。 只翻转原位置的理想薄镜，其传输关系不变，仍为原来的−0.2缩小成像。要获得 前述−5，必须同时交换大小共轭；真实反接安装的距离另由镜头和接环决定。

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答案 18.5. 指令位移为 $0.5/(200\times16)=0.00015625$ mm，即0.15625 μm。 8 μm回差不会因细分自动消失；指令分辨率不能替代实际位置精度。音圈推力均为 0.1 N，20 g与10 g的初始加速度分别为5、10 m/s²，还缺少实际阻力、行程、制动、 振动收敛、位置检测和图像重新测焦的条件，不能据此给两种镜头的完整AF用时。

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答案 18.6. 周期 $1/f_d=25$ μs，$\gamma=hn/(2R)=0.45$，切向振幅为 $0.9$ μm。峰顶切向速度为 $-0.45(0.002)(2\pi)(40000)\approx-226.195$ mm/s。 参考角速度为 $-226.195/16\approx-14.1372$ rad/s，对应约−135 rpm，方向与 行波相反。材料点一周期后返回；转子接触不同材料点，参考转角累计−0.02025°， 不会随一个材料点的闭合轨迹归零。放大后画面参考转角为−10.125°，读数仍报告 实际运动学量。真实转子还需接触与负载模型，参考转速不能当作实测值。

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答案 18.7. $u=550.2$ mm、$v=54.8$ mm，式 (18.16) 得 $d\approx4.500182$ px；焦点附近的线性标定给4.50 px。以观测4.50 px计算， 第一次指令为 $0.20-0.8\times4.50/22.5=0.04$ mm。 均匀图像的相关分母接近零，位移缺乏信息；周期条纹在多个周期偏移下都可能高度 相关。先检查纹理、峰值强度、竞争峰和搜索边界，才决定是否采用校正方向。

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